Với mọi số nguyên dương $n$, gọi $f(n)$ là số nguyên dương không chính phương thứ $n$, tức $f(1)=2$, $f(2)=3$, $f(3)=5$, $f(4)=6$, v.v. Chứng minh rằng
$$f(n)=n+\{\sqrt n\},$$
trong đó $\{x\}$ là số nguyên gần $x$ nhất. (Ví dụ, $\{\sqrt1\}=1$, $\{\sqrt2\}=1$, $\{\sqrt3\}=2$, $\{\sqrt4\}=2$.)
Trong tam giác đều $ABC$, $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC$. Đường thẳng $MN$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $K,L$; các đường $CK,CL$ lần lượt cắt đường $AB$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $PA^2\cdot QB=QA^2\cdot PB$.
Ba mươi hai cặp sinh đôi giống hệt nhau đứng thành một đội hình $8\times8$. Chứng minh rằng có thể chọn $32$ người, mỗi cặp sinh đôi chọn một người, sao cho mỗi hàng và mỗi cột đều có ít nhất một người được chọn.