Trong tam giác $ABC$, $\angle A=60^\circ$. Các điểm $D,M$ nằm trên đường thẳng $AC$, các điểm $E,N$ nằm trên đường thẳng $AB$, sao cho $DN,EM$ lần lượt là các đường trung trực của $AC,AB$. Gọi $L$ là trung điểm của $MN$. Chứng minh $\angle EDL=\angle ELD$.
Chứng minh rằng mọi cách biểu diễn $1$ thành tổng các nghịch đảo phân biệt của những số thuộc cấp số cộng $\{2,5,8,11,\ldots\}$, chẳng hạn ví dụ sau, đều phải có ít nhất tám số hạng:
$$1=\frac12+\frac15+\frac18+\frac1{11}+\frac1{20}+\frac1{41}+\frac1{110}+\frac1{1640}.$$
Xét một dãy số nguyên tố $p_1,p_2,\ldots$ sao cho với mỗi $i\ge2$, ta có $p_i=2p_{i-1}-1$ hoặc $p_i=2p_{i-1}+1$. Một ví dụ là dãy $2,5,11,23,47$. Chứng minh mọi dãy như vậy đều chỉ có hữu hạn số hạng.
Cho $n$ là số nguyên dương. Gọi $S_1,S_2,\ldots,S_k$ là một họ các tập con có $2n$ phần tử của $\{1,2,3,4,\ldots,4n-1,4n\}$, sao cho $S_i\cap S_j$ chứa nhiều nhất $n$ phần tử với mọi $1\le i\lt j\le k$. Chứng minh
$$k\le6^{(n+1)/2}.$$