SMO 2005 - Senior - Vòng 2

Các chữ số của một số có ba chữ số được hoán vị sao cho không chữ số nào giữ nguyên vị trí ban đầu. Hiệu của hai số là một số có hai chữ số và là số chính phương.

**Làm rõ văn bản nguồn.** Đề in kết thúc tại đây, không nêu yêu cầu cụ thể. Lời giải đi kèm tìm các hiệu có thể có. Theo cách hiểu đó, hãy xác định tất cả các hiệu dương có thể có và giải thích. Đây là phần làm rõ của người biên soạn; câu hỏi vẫn được đánh dấu cần duyệt.

Xét tứ giác không lồi $ABCD$ với $\angle C>180^\circ$. Kéo dài cạnh $CD$ cắt $AB$ tại $F$, và kéo dài cạnh $BC$ cắt $AD$ tại $E$. Một đường thẳng cắt phần trong của các cạnh $AB,AD,BC,CD$ lần lượt tại $K,L,J,I$. Chứng minh rằng nếu $DI=CF$ và $BJ=CE$ thì $KJ=IL$.

Cho $S$ là một tập con của $\{1,2,3,\ldots,24\}$ với $|S|=10$. Chứng minh rằng $S$ có hai tập con gồm $2$ phần tử là $\{x,y\}$ và $\{u,v\}$ sao cho $x+y=u+v$.

Xác định xem có tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho biểu diễn thập phân của $n!$ bắt đầu bằng $2005$ hay không. Giải thích câu trả lời.