Câu hỏi 1
Thừa số nguyên tố dương nhỏ nhất của số nguyên $2005^{2007}+2007^{2005}$ là gì?
SMO 2005 - Senior - Vòng 1
Câu hỏi 2
Tính
$$\frac{2005^2+2\times2005\times1995+1995^2}{800}.$$
$$\frac{2005^2+2\times2005\times1995+1995^2}{800}.$$
Câu hỏi 3
Cho số thực $p$ sao cho phương trình $2y^2-8y=p$ có đúng một nghiệm. Khi đó khẳng định nào đúng?
Câu hỏi 4
Tổng hai chữ số cuối của số nguyên $1!+2!+3!+\cdots+2005!$ bằng bao nhiêu?
Câu hỏi 5
$5002^{2005\log_{5002}2005}$ bằng biểu thức nào dưới đây?
Câu hỏi 6
Trong hình, $P,Q,R$ là ba điểm trên đường tròn tâm $O$. Kéo dài các đường thẳng $PO$ và $QR$ để chúng cắt nhau tại $S$. Biết $RS=OP$, $\angle PSQ=12^\circ$ và $\angle POQ=x^\circ$. Tìm $x$.
Câu hỏi 7
Cho $x,y$ là các số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của
$$\frac{16}{x}+\frac{108}{y}+xy$$
là bao nhiêu?
$$\frac{16}{x}+\frac{108}{y}+xy$$
là bao nhiêu?
Câu hỏi 8
Trong mặt phẳng tọa độ, lấy đối xứng đồ thị $y=\frac{2x-1}{x-1}$ qua đường thẳng $y=-x$. Phương trình của đồ thị ảnh là gì?
Câu hỏi 9
Rút gọn
$$\sqrt{2\left(1+\sqrt{1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}\right)},$$
với $x$ là số thực dương bất kỳ.
$$\sqrt{2\left(1+\sqrt{1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}\right)},$$
với $x$ là số thực dương bất kỳ.
Câu hỏi 10
Cho các số thực $x,y$ thỏa
$$x^2+y^2=2x-2y+2.$$
Giá trị lớn nhất của $x^2+y^2$ là bao nhiêu?
$$x^2+y^2=2x-2y+2.$$
Giá trị lớn nhất của $x^2+y^2$ là bao nhiêu?
Câu hỏi 11
Tìm số nguyên lớn nhất nhỏ hơn $(2+\sqrt3)^4$.
Câu hỏi 12
Tam giác $ABC$ có $\angle C=90^\circ$. Biết $AC=156$ cm, $AB=169$ cm và khoảng cách vuông góc từ $C$ đến $AB$ bằng $x$ cm. Tìm $x$.
Câu hỏi 13
Tìm tổng tất cả các số thực $x$ thỏa phương trình
$$(3^x-27)^2+(5^x-625)^2=(3^x+5^x-652)^2.$$
$$(3^x-27)^2+(5^x-625)^2=(3^x+5^x-652)^2.$$
Câu hỏi 14
Ba số nguyên dương có hiệu giữa hai số bất kỳ không quá $6$, và tích của chúng bằng $2808$. Số nhỏ nhất trong ba số là bao nhiêu?
Câu hỏi 15
Rút gọn
$$\frac{2005^2(2004^2-2003)}{(2004^2-1)(2004^3+1)}\times\frac{2003^2(2004^2+2005)}{2004^3-1}.$$
$$\frac{2005^2(2004^2-2003)}{(2004^2-1)(2004^3+1)}\times\frac{2003^2(2004^2+2005)}{2004^3-1}.$$
Câu hỏi 16
Xét hàm số $f(x)=\frac1{3^x+\sqrt3}$. Tính
$$\sqrt3\,[f(-5)+f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)].$$
$$\sqrt3\,[f(-5)+f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)].$$
Câu hỏi 17
Cho $A,B$ là hai số nguyên dương có bốn chữ số và $A\times B=16^5+2^{10}$. Tính $A+B$.
Câu hỏi 18
Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn bán kính $4$ cm. Biết $\angle A=60^\circ$, $AC-AB=4$ cm và diện tích tam giác bằng $x$ cm$^2$. Tính $x^2$.
Câu hỏi 19
Cho các số thực $a,b,c$ thỏa
$$a=8-b,\qquad c^2=ab-16.$$
Tính $a+c$.
$$a=8-b,\qquad c^2=ab-16.$$
Tính $a+c$.
Câu hỏi 20
Cho các số nguyên dương $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8$ thỏa
$$a_1^2+(2a_2)^2+(3a_3)^2+(4a_4)^2+(5a_5)^2+(6a_6)^2+(7a_7)^2+(8a_8)^2=204.$$
Tính $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8$.
$$a_1^2+(2a_2)^2+(3a_3)^2+(4a_4)^2+(5a_5)^2+(6a_6)^2+(7a_7)^2+(8a_8)^2=204.$$
Tính $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8$.