Cho các số thực dương $x_1,x_2,\ldots,x_n$ và đặt $S=x_1+x_2+\cdots+x_n$. Chứng minh rằng
$$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\frac{S^2}{2!}+\frac{S^3}{3!}+\cdots+\frac{S^n}{n!}.$$
Cho ba điểm $A_1,A_2,A_3$ trong mặt phẳng và quy ước $A_4=A_1$, $A_5=A_2$. Với $n=1,2,3$, gọi $B_n$ là trung điểm của $A_nA_{n+1}$ và $C_n$ là trung điểm của $A_nB_n$. Hai đường thẳng $A_nC_{n+1}$ và $B_nA_{n+2}$ cắt nhau tại $D_n$; hai đường thẳng $A_nB_{n+1}$ và $C_nA_{n+2}$ cắt nhau tại $E_n$. Tính tỉ số diện tích tam giác $D_1D_2D_3$ và tam giác $E_1E_2E_3$.
Làm rõ biên tập: giả sử ba điểm ban đầu không thẳng hàng để tỉ số diện tích được xác định. Nguồn không nêu điều kiện này; cách viết ban đầu được giữ ở trên.
Cho tập $S$ gồm $m$ cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn $1\le a\lt b\le n$. Chứng minh có ít nhất
$$\frac{4m\left(m-\frac{n^2}{4}\right)}{3n}$$
bộ ba $(a,b,c)$ sao cho $(a,b),(a,c),(b,c)$ đều thuộc $S$.
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn: (1) $f(x)$ đồng biến nghiêm ngặt; (2) $f(x)+g(x)=2x$ với mọi số thực $x$, trong đó $g$ là hàm ngược của $f$ đối với phép hợp. (Nghĩa là $f(g(x))=x$ và $g(f(x))=x$ với mọi số thực $x$.)
