Bebras 2021 - Cấp độ 4

Các bạn hải ly đã tìm ra một cách mã hóa các chữ cái rất thú vị. Đầu tiên, các bạn kẻ ra ba sơ đồ 9 ô (xem hình minh họa bên dưới). Sau đó, vẽ một chấm tròn vào mỗi ô của sơ đồ thứ hai và vẽ hai chấm tròn vào mỗi ô của sơ đồ thứ ba. Cuối cùng, điền các chữ cái vào sơ đồ theo thứ tự từ trái qua phải, từ trên xuống dưới.



Bảng chữ có thể chỉnh sửa (các hàng trong từng ô, từ trên xuống):

| Số chấm | Hàng trên | Hàng giữa | Hàng dưới |
|---|---|---|---|
| 0 | A B C | D E F | G H I |
| 1 | J K L | M N O | P Q R |
| 2 | S T U | V W X | Y Z — |

Mỗi chữ cái sẽ được mã hóa tương ứng với hình mô tả các đoạn thẳng và các chấm tròn (nếu có) ở cùng ô với nó. Chẳng hạn ta có chữ A được mã hóa thành hình có 2 đoạn kẻ; chữ Z được mã hóa thành hình có 3 đoạn kẻ và 2 chấm tròn; …

Hãy giải mã và cho biết hình sau được dùng để mã hóa dãy chữ cái nào.

Một vở kịch cổ tích có hai phần, giữa hai phần có một đoạn nghỉ để chuyển cảnh. Hình dưới đây minh họa thứ tự ra/vào sân khấu của các diễn viên ở trong vở kịch đó.



Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào chắc chắn sai khi nói về các sự kiện liên quan đến vở kịch này?

Hải ly Sue vẽ một khu phố với các ngôi nhà được sắp xếp theo một quy luật nào đó như hình minh họa dưới đây.



Hỏi ngôi nhà còn thiếu có hình dạng như thế nào?

Sắp đến ngày hội sắc màu, các cư dân của thành phố sắc màu quyết định sẽ sơn lại ngôi nhà của mình bởi một trong ba màu: xanh dương (B), đỏ (R) và xanh lá cây (G). Họ đã cùng nhau đặt ra một quy tắc là mỗi ngôi nhà không được sơn cùng màu với các ngôi nhà ở bên cạnh hoặc ngay đối diện phía bên kia đường của nó. Hình dưới đây mô tả một số ngôi nhà đã được sơn lúc này.



Ngôi nhà của bạn hải ly có thể sơn những màu nào để thỏa mãn các điều kiện đó?

Nhạc sĩ hải ly luôn viết lời hát theo sơ đồ. Bạn ấy sẽ luôn bắt đầu tại vị trí “Start” rồi đi theo các hướng mũi tên để chọn lời. Biết rằng, bài hát sẽ luôn kết thúc tại vị trí “End” nhưng không nhất thiết đi tới vị trí đó là bài hát sẽ kết thúc.



Ví dụ với sơ đồ trên, nhạc sĩ hải ly có thể có bài hát: “Whoop-de-doo La La La Whoop-de-doo La La La Dum-da-da Dum-da-da Bang Dum-da-da Dum-da-da”.

Cho bốn sơ đồ sau:



Có bao nhiêu sơ đồ trong các sơ đồ 2, 3, 4 có thể cho ra cùng lời hát với sơ đồ 1?

Hải ly Mat tổ chức một bữa tiệc. Anh ấy mời cậu bạn thân Robert cùng với hai gia đình hải ly khác. Gia đình thứ nhất gồm: Papa Jones (chồng) và Mama Jones (vợ) cùng Harry, Rose lần lượt là con trai và con gái họ. Gia đình thứ hai gồm: Papa Gray (chồng) và Mama Gray (vợ) cùng hai con gái Lily và Daisy của họ.

Hải ly Mat sẽ sắp xếp chỗ ngồi sao cho không có hai hải ly nữ nào ngồi cạnh nhau; không có cặp vợ chồng nào ngồi cạnh nhau và các hải ly con đều không ngồi cạnh bố hoặc mẹ của mình. Hỏi cách sắp xếp nào dưới đây là phù hợp?

Các bạn hải ly có một hệ thống dẫn nước như hình minh họa bên dưới. Mỗi cái xô chỉ có thể chứa một lượng nước tối đa nhất định (tương ứng là số được ghi trên chiếc xô đó, ngoại trừ M và N). Toàn bộ phần nước còn lại được đưa đến mỗi xô sẽ chia đều theo các nhánh và tiếp tục chảy xuống dưới. Để ý rằng khi đến cuối cùng thì chiếc xô ở trên cùng (S) không còn chứa nước; xô M và xô N theo thứ tự chứa 80 và 40 lít nước; còn các xô còn lại đều chứa lượng nước đúng bằng sức chứa tối đa của nó (theo thứ tự là 40 lít, 20 lít và 20 lít).



Các bạn hải ly đã tạo ra một hệ thống khác như hình dưới đây và đổ vào 200 lít nước từ xô S.



Biết rằng ban đầu tất cả các xô đều không chứa nước và nước không bị tràn ra ngoài hệ thống trong quá trình chảy. Hỏi đến khi nước ngừng chảy thì xô A chứa bao nhiêu lít nước?

Vương quốc hải ly gồm 6 hòn đảo A, B, C, D, E và F. Tại hòn đảo F đang xuất hiện căn bệnh lạ, Quốc vương cần cử chuyên gia từ đảo A tới hỗ trợ đảo F. Tuy nhiên để ngăn cản sự lây lan dịch bệnh, Quốc vương cũng hạn chế việc đi lại giữa các hòn đảo như hình dưới đây.



Việc di chuyển phải đi theo đường mũi tên. Hơn nữa, số người được đi qua mỗi tuyến đường cũng bị giới hạn. Trong hình minh họa, các số tương ứng với mỗi đoạn là số người tối đa được phép đi qua đoạn đường đó trong một ngày.

| Tuyến | Giới hạn mỗi ngày |
|---|---|
| A→B | 10 |
| A→C | 10 |
| B→C | 2 |
| B→D | 5 |
| B→E | 3 |
| C→E | 10 |
| E→D | 8 |
| E→F | 10 |
| D→F | 10 |

Hỏi có tối đa bao nhiêu chuyên gia có thể tới đảo F trong ngày đầu tiên?

Các bạn hải ly đã nghĩ ra một cách mã hóa các chữ cái I, T, O, C và L dựa trên bảng số 3 × 3 rất thú vị. Đầu tiên, hải ly sẽ vẽ hình biểu diễn các chữ cái đó trên lưới vuông 3 × 3 như sau:



Dữ liệu pixel có thể chỉnh sửa: 1=tô, 0=trắng; các hàng từ trên xuống.

| Chữ | Hàng 1 | Hàng 2 | Hàng 3 |
|---|---|---|---|
| I | 010 | 010 | 010 |
| T | 111 | 010 | 010 |
| O | 111 | 101 | 111 |
| C | 111 | 100 | 111 |
| L | 100 | 100 | 111 |

Sau đó, để mã hóa mỗi chữ cái, các bạn hải ly sẽ lần lượt kiểm tra các ô đơn vị trong hình biểu diễn tương ứng và ghi vào bảng số giá trị số ô đơn vị ở cùng vị trí và có cùng màu trong hình biểu diễn của 4 chữ cái còn lại.

Chẳng hạn, chữ cái I đã được mã hóa bởi bảng số trong hình bên trái dưới đây.



Bảng mẫu I có thể chỉnh sửa:

| 0 | 3 | 1 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 |
| 1 | 4 | 1 |

Bảng cần giải:

| 3 | 3 | 2 |
|---|---|---|
| 2 | 2 | 0 |
| 2 | 4 | 2 |

Hỏi bảng số bên phải là kết quả nhận được khi hải ly mã hóa chữ cái nào?

Hải ly Alex có các thanh gỗ với chiều cao bằng nhau và các chiều dài được minh họa như hình bên dưới. Bạn ấy muốn sử dụng các thanh gỗ để tạo thành ba tòa tháp có độ cao bằng nhau. Lưu ý rằng trong một tòa tháp, mỗi thanh gỗ đều có chiều dài nhỏ hơn các thanh gỗ ở phía dưới của nó (nếu có).



Các chiều dài trong hình, từ trên xuống: 11,8,7,7,7,6,6,5,5,4,4,4.



Sau khi xếp được các tòa tháp như vậy, Alex tính độ lệch của ba tòa tháp là hiệu lớn nhất giữa 2 trong 3 tổng chiều dài các thanh gỗ trong cùng một tòa tháp.

Hỏi kết quả độ lệch nhỏ nhất mà bạn ấy có thể nhận được là bao nhiêu?

Chú thích biên tập đã được duyệt: sử dụng cả mười hai thanh gỗ, nên mỗi tháp có bốn thanh. Nguồn không ghi rõ chữ “tất cả”; cần cách hiểu dự định này để dùng khóa đáp án nguồn. Trường hợp được để thừa thanh được phân tích riêng trong lời giải.

Hải ly Betty đang chơi với các tấm bìa có ghi những kí tự ABBA, GAGA, GIBB và IGGY. Bạn ấy lần lượt xếp các tấm bìa liên tiếp hoặc đặt chồng lên nhau để được một chuỗi kí tự đặc biệt khác.

Ví dụ, Betty có thể tạo chuỗi kí tự GIABIGGYGA bằng cách:
- Đặt tấm bìa GIBB lên bàn.
- Đặt tấm bìa ABBA chồng một phần tấm bìa đầu tiên: GIABBA.
- Đặt tấm bìa GAGA để được dãy: GIABBAGAGA.
- Đặt tấm bìa IGGY vào dãy trên để được GIABIGGYGA.

Biết rằng Betty có rất nhiều tấm bìa như thế. Hỏi bạn ấy chắc chắn không tạo được chuỗi kí tự nào dưới đây?

Hải ly Alex được giao nhiệm vụ xếp bóng vào một cái hộp gỗ 9 ngăn như hình minh họa bên dưới.



Có tất cả 9 quả bóng, tuy nhiên Alex có thể tùy ý chọn số lượng bóng mà mình sẽ đặt vào hộp. Hơn nữa, việc đặt bóng phải thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
- Mỗi quả bóng trong hộp đều được đặt ngay ngắn vào 1 trong 9 ngăn (biết rằng cả 9 ngăn đều đủ rộng để chứa bóng).
- Trong mỗi ngăn chỉ có nhiều nhất 1 quả bóng.
- Tổng số quả bóng trên mỗi hàng, mỗi cột đều là các số lẻ.

Hỏi Alex có tất cả bao nhiêu cách khác nhau để xếp bóng vào hộp thỏa mãn các điều kiện đó?

Bộ trò chơi thu thập đá quý có một chú robot và tấm bản đồ minh họa các con đường như hình bên dưới.



Robot sẽ bắt đầu tại vị trí xuất phát và liên tục di chuyển. Khi đến mỗi ngã ba, nó sẽ dừng lại để hỏi người điều khiển muốn rẽ theo hướng nào. Cuối cùng, khi đến ngõ cụt, robot sẽ thu thập tất cả các viên đá quý có ở trong đó.

Hai bạn Alex và Bob đã cùng nhau chơi và lần lượt đưa ra các quyết định về hướng rẽ của robot. Mục tiêu của Alex là đưa được robot đến nơi có càng nhiều đá quý càng tốt; còn Bob thì ngược lại. Cả hai bạn đều biết được mục tiêu của nhau và đều có khả năng suy luận rất giỏi. Biết rằng Alex là người đưa ra quyết định ở lượt đầu tiên. Hỏi chú robot sẽ thu thập được bao nhiêu viên đá quý khi dừng lại?

Hải ly Sam có các khối hình với chiều cao giống nhau. Cậu ấy đã sử dụng những khối hình để tạo thành các tòa tháp như hình minh họa dưới đây, để ý rằng các khối trong cùng một tòa tháp đều có chiều rộng bằng nhau.



| Tháp, từ trái sang phải | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Chiều cao ban đầu | 7 | 5 | 3 | 4 | 2 | 4 | 6 | 1 | 2 |
| Chiều rộng | 1 | 2 | 4 | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 | 3 |

Để làm cho các tòa tháp có chiều cao bằng nhau, Sam có thể đặt thêm các khối hình hoặc loại bỏ các khối đang có trên các tòa tháp. Sam đang tính toán về độ thay đổi của các tòa tháp tương ứng với mỗi cách làm như thế. Mỗi khi đặt thêm hay lấy ra một khối hình, độ thay đổi sẽ tăng thêm một lượng đúng bằng chiều rộng của khối hình đó. Chẳng hạn, nếu Sam loại bỏ 2 khối khỏi tòa tháp có chiều rộng là 1 thì độ thay đổi sẽ tăng 2 × 1 = 2 đơn vị; còn nếu thêm 4 khối vào tòa tháp có chiều rộng là 3 thì độ thay đổi sẽ tăng 4 × 3 = 12 đơn vị.

Hỏi khi Sam điều chỉnh để các tòa tháp trên có chiều cao bằng nhau thì tổng giá trị độ thay đổi nhỏ nhất bằng bao nhiêu đơn vị?

Hải ly có 16 cây thông thuộc bốn loại, mỗi loại 4 cây. Biết rằng các cây cùng loại có chiều cao như nhau và các cây khác loại có chiều cao khác nhau.



Bạn ấy trồng 16 cây thông vào mảnh vườn kích thước 4 × 4 sao cho mỗi loại cây xuất hiện ở mỗi hàng, mỗi cột đúng một lần. Ở mỗi vị trí xung quanh vườn, hải ly sẽ cắm một bảng ghi số cây nhìn thấy được (trong hàng hoặc cột) tại vị trí đó. Lưu ý rằng các cây thấp hơn ở phía sau sẽ bị che khuất bởi các cây cao hơn ở phía trước. Minh họa dưới đây chỉ ra một ví dụ về các số được ghi trên bảng tương ứng với cách trồng cây trong hình đó.



Bảng ví dụ có thể chỉnh sửa, I thấp nhất và IV cao nhất:

| I | IV | II | III |
|---|---|---|---|
| IV | I | III | II |
| III | II | IV | I |
| II | III | I | IV |

Số nhìn thấy của ví dụ: trên 2,1,3,2; dưới 3,2,2,1; trái 2,1,2,3; phải 2,3,2,1. Ví dụ nhìn ngang riêng có các cây III,I,II,IV nên nhìn từ trái thấy hai cây, từ phải thấy một cây.



Hình dưới đây cho biết một vài bảng số đã được cắm ở xung quanh vườn.



| Phía | Số theo thứ tự |
|---|---|
| Trên, trái sang phải | 3,2,1,2 |
| Dưới, trái sang phải | 1,2,3,2 |
| Trái, trên xuống dưới | 3,2,2,1 |
| Phải, trên xuống dưới | 2,1,3,3 |

A=(hàng 4,cột 1), B=(2,1), C=(3,4), D=(1,2). Bốn cây nào dưới đây có thể lần lượt là các cây trồng tại các vị trí A, B, C, D?