2018 BIMC keystage3-IWYMIC team

Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 2018 có thể biểu diễn thành tổng của đúng ba ước dương khác nhau của chính số đó?

Đáp án: ______ số nguyên dương

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x,y)$ sao cho $x\lt y$ và $\dfrac{x^2+y^2}{x+y}$ là một số nguyên, đồng thời là ước của 2835?

Trình bày lời giải đầy đủ.

Đáp án: ______ cặp

Cho $ABCD$ là hình bình hành có diện tích $240$ $\mathrm{cm}^2$. $E$ là trung điểm của $AD$ và $H$ là trung điểm của $AB$. $G$ là một điểm trên $BC$ sao cho $BG=2GC$, còn $F$ là một điểm trên $CD$ sao cho $DF=3FC$. $K$ là một điểm trên $AC$ sao cho diện tích tam giác $EKF$ bằng $33$ $\mathrm{cm}^2$. Tìm diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tam giác $HKG$.



Đáp án: ______ $\mathrm{cm}^2$

Tìm số nguyên dương lớn nhất $m$ sao cho $m^4+16m+8$ là tích của hai hoặc nhiều hơn hai số nguyên liên tiếp.

Trình bày lời giải đầy đủ.

Đáp án: ______

Với giá trị nguyên dương nào của $k$ thì $\dfrac{20^k+18^k}{k!}$ đạt giá trị lớn nhất?

Đáp án: ______

Quân đội La Mã có 2018 đơn vị canh giữ các tỉnh. Hoàng đế lo rằng khi có ít nhất 64 đơn vị trong một tỉnh, họ có thể tập hợp lại và lật đổ ông. Vì vậy, mỗi ngày ông đến một tỉnh có nguy cơ như thế và điều tất cả các đơn vị ở đó sang các tỉnh khác, không có hai đơn vị nào đến cùng một tỉnh. Chứng minh rằng sau 64 ngày, không còn tỉnh nào có ít nhất 64 đơn vị.

Lấy tổng tất cả các số nguyên dương không nguyên tố cùng nhau với 2018 và có đúng 2017 ước dương, rồi chia tổng đó cho 2019. Tìm số dư của phép chia này.

Đáp án: ______

Trong hình dưới đây, tam giác được chia thành bốn tam giác nhỏ và ba tứ giác. Mỗi tam giác nhỏ có diện tích $1$ $\mathrm{cm}^2$. Tìm diện tích, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của tứ giác $CA_0C_0A_1$.



Trình bày lời giải đầy đủ.

Đáp án: ______ $\mathrm{cm}^2$

Cắt hình thứ nhất dưới đây, không nhất thiết theo các đường lưới, thành ba mảnh sao cho các mảnh thu được bằng nhau qua phép quay và phép đối xứng. Sau đó cắt hình thứ hai, không nhất thiết theo các đường lưới, thành bốn mảnh sao cho các mảnh thu được bằng nhau qua phép quay và phép đối xứng.



Đáp án: Hình thứ nhất / Hình thứ hai

Các hình trống để trả lời trong đề gốc được giữ lại dưới đây.

Tom viết số 1. Với mỗi số $n$ đã được viết, Tom viết thêm các số $5n$ và $5n+1$, với điều kiện chúng nhỏ hơn 1000. Jerry tính tất cả các tổng của hai số khác nhau mà Tom đã viết. Jerry nhận được bao nhiêu tổng khác nhau?

Trình bày lời giải đầy đủ.

Đáp án: ______