IMC 2004 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

Trong tam giác $ABC$, $BC=1$ cm, $\angle A=30^\circ$, $\angle C=90^\circ$. Tìm và chứng minh diện tích lớn nhất theo cm$^2$ của tam giác đều có các đỉnh nằm trên các cạnh $ABC$.

Pentomino gồm năm ô vuông đơn vị ghép theo cạnh. Hình cho mười hai pentomino. Đặt bốn mảnh trên bảng chữ thập sao cho không đặt được mảnh nào trong tám mảnh còn lại. Được xoay và lật; các mảnh phải theo đường lưới và không chồng lấn.

Thành phố $n\times n$ có chiều cao tòa nhà từ một đến $n$, không lặp trong cùng hàng hoặc cột. Một tòa nhà được nhìn thấy từ một phía khi và chỉ khi mọi tòa nhà đứng trước nó trong hàng hoặc cột đều thấp hơn. Hình trái minh họa thành phố $4\times4$ với số nhìn thấy riêng từng hàng và cột. Trong thành phố $5\times5$ bên phải, đã biết năm chiều cao. Tổng số nhìn thấy từ bắc là mười, đông mười một, nam mười ba, tây mười hai. Tìm các chiều cao còn lại.

Với các số nguyên dương $m,n$, tìm giá trị nhỏ nhất của $|25^n-7^m-3^m|$.

Chia hình theo các đường lưới lục giác thành ba phần bằng nhau về hình dạng và kích thước.

Tòa nhà có mười một thang máy. Mỗi thang dừng đúng ba tầng, không nhất thiết liên tiếp; không phải tất cả đều bắt đầu từ tầng một. Với mọi cặp tầng, có thang máy dừng ở cả hai. Tìm số tầng lớn nhất.

Mỗi cặp đội bóng đá gặp nhau một lần. Thắng được hai điểm theo hệ cũ, ba điểm theo hệ mới; thua không điểm, hòa mỗi đội một điểm ở cả hai hệ. Đội vô địch theo hệ mới sẽ đứng cuối theo hệ cũ. Tìm số đội ít nhất và cho kết quả mọi trận của một ví dụ.

Polyomino gồm các ô vuông đơn vị ghép theo toàn bộ cạnh. Nó có kích thước chuẩn nếu không có polyomino đồng dạng nhỏ hơn. Thay mỗi ô bằng hình vuông $n\times n$ cho kích thước $n$. Dựng mười hình chữ nhật đôi một không đồng dạng theo các quy tắc:

(i) Dùng nhiều nhất mười bản sao của một polyomino được chọn. (ii) Mảnh đó không phải hình chữ nhật. (iii) Mọi bản sao có kích thước nguyên. (iv) Có ít nhất một bản sao kích thước chuẩn. (v) Có ít nhất một bản sao lớn hơn. Được xoay và lật, không chồng lấn hoặc để hở. Ví dụ trái là hình $9\times4$ dùng sáu bản sao, thỏa mọi quy tắc. Ví dụ phải là hình $13\times6$ dùng bốn bản sao của cùng mảnh nhưng không thỏa (iv).