Câu hỏi 200
Trên bàn có đống đá $k$ $1, 2, \dots, k$, trong đó $k \ge 3$. Ở bước đầu tiên, chúng ta chọn ba đống bất kỳ trên bàn, hợp nhất chúng thành một đống mới và loại bỏ 1 viên đá (ném nó ra khỏi bàn) khỏi đống mới này. Ở bước thứ hai, chúng ta lại hợp nhất ba đống lại với nhau thành một đống mới, sau đó loại bỏ 2 viên đá khỏi đống mới này. Nói chung, ở bước thứ $i$, chúng tôi chọn ba đống bất kỳ chứa nhiều hơn đá $i$ khi kết hợp lại, chúng tôi hợp nhất chúng thành một đống mới và sau đó loại bỏ các viên đá $i$ khỏi đống mới này. Giả sử rằng sau một số bước, trên bàn còn lại một đống chứa các viên đá $p$. Chứng minh rằng số $p$ là số chính phương khi và chỉ khi các số $2k+2$ và $3k+1$ là số chính phương. Hơn nữa, hãy tìm số $k$ nhỏ nhất mà $p$ là một hình vuông hoàn hảo.