Câu hỏi 161
Trong hệ tọa độ hình chữ nhật phẳng, chuỗi các điểm $\{A_n\}$ trên nửa dương của trục $y$ và chuỗi các điểm $\{B_n\}$ trên đường cong $y = \sqrt{2x}$ ($x \ge 0$) thỏa mãn điều kiện $|OA_n| = |OB_n| = \frac{1}{n}$. Giao điểm $x$ của đoạn đường $A_nB_n$ là $a_n$ và tọa độ $x$ của điểm $B_n$ là $b_n$, $n \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng
(1) $a_n \gt a_{n+1} \gt 4$, $n \in \mathbb{N}$;
(2) Có $n_0 \in \mathbb{N}$, tương tự như vậy đối với mọi $n \gt n_0$, $\frac{b_2}{b_1} + \frac{b_3}{b_2} + \cdots + \frac{b_{n_0}}{b_{n_0-1}} + \frac{b_{n+1}}{b_n} \lt n - 2004$.
(1) $a_n \gt a_{n+1} \gt 4$, $n \in \mathbb{N}$;
(2) Có $n_0 \in \mathbb{N}$, tương tự như vậy đối với mọi $n \gt n_0$, $\frac{b_2}{b_1} + \frac{b_3}{b_2} + \cdots + \frac{b_{n_0}}{b_{n_0-1}} + \frac{b_{n+1}}{b_n} \lt n - 2004$.