Câu hỏi 173
Giả sử $n$ là số nguyên với các số thực dương $n \gt 2$ và $a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{R}^+$. Cho bất kỳ số nguyên dương $t, k, p$ nào có $1 \lt t \lt n$, đặt $m = k+p$. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
$$
\begin{gathered}
1) \quad \frac{a_1^p}{a_2^k + a_3^k + \cdots + a_t^k} + \frac{a_2^p}{a_3^k + a_4^k + \cdots + a_{t+1}^k} + \cdots + \frac{a_{n-1}^p}{a_n^k + a_1^k + \cdots + a_{t-2}^k} + \\
\qquad + \frac{a_n^p}{a_1^k + a_2^k + \cdots + a_{t-1}^k} \ge \frac{(a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p)^2}{(t-1)(a_1^m + a_2^m + \cdots + a_n^m)}
\end{gathered}
$$
$$
\begin{gathered}
2) \quad \frac{a_2^k + a_3^k + \cdots + a_t^k}{a_1^p} + \frac{a_3^k + a_4^k + \cdots + a_{t+1}^k}{a_2^p} + \cdots + \frac{a_n^k + a_1^k + \cdots + a_{t-2}^k}{a_{n-1}^p} + \\
\qquad + \frac{a_1^k + a_2^k + \cdots + a_{t-1}^k}{a_n^p} \ge \frac{(t-1)(a_1^k + a_2^k + \cdots + a_n^k)^2}{a_1^m + a_2^m + \cdots + a_n^m}
\end{gathered}
$$
$$
\begin{gathered}
1) \quad \frac{a_1^p}{a_2^k + a_3^k + \cdots + a_t^k} + \frac{a_2^p}{a_3^k + a_4^k + \cdots + a_{t+1}^k} + \cdots + \frac{a_{n-1}^p}{a_n^k + a_1^k + \cdots + a_{t-2}^k} + \\
\qquad + \frac{a_n^p}{a_1^k + a_2^k + \cdots + a_{t-1}^k} \ge \frac{(a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p)^2}{(t-1)(a_1^m + a_2^m + \cdots + a_n^m)}
\end{gathered}
$$
$$
\begin{gathered}
2) \quad \frac{a_2^k + a_3^k + \cdots + a_t^k}{a_1^p} + \frac{a_3^k + a_4^k + \cdots + a_{t+1}^k}{a_2^p} + \cdots + \frac{a_n^k + a_1^k + \cdots + a_{t-2}^k}{a_{n-1}^p} + \\
\qquad + \frac{a_1^k + a_2^k + \cdots + a_{t-1}^k}{a_n^p} \ge \frac{(t-1)(a_1^k + a_2^k + \cdots + a_n^k)^2}{a_1^m + a_2^m + \cdots + a_n^m}
\end{gathered}
$$