Câu hỏi 129
Giả sử các số $n^{2}$ $1,2,3, \ldots, n^{2}$ được sắp xếp để tạo thành một mảng $n$ by $n$ bao gồm các hàng $n$ và các cột $n$ sao cho các số trong mỗi hàng (từ trái sang phải) và mỗi cột (từ trên xuống dưới) theo thứ tự tăng dần. Biểu thị bằng $a_{j k}$ số ở hàng thứ $j$ và cột thứ $k$. Giả sử $b_{j}$ là số lượng mục nhập tối đa có thể xảy ra dưới dạng $a_{j j}, 1 \leq j \leq n$. Chứng minh rằng
$$
b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots b_{n} \leq \frac{n}{3}\left(n^{2}-3 n+5\right)
$$
(Ví dụ: Trong trường hợp $n=3$, các số duy nhất có thể xuất hiện dưới dạng $a_{22}$ là 4, 5 hoặc 6 sao cho $b_{2}=3$.)
$$
b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots b_{n} \leq \frac{n}{3}\left(n^{2}-3 n+5\right)
$$
(Ví dụ: Trong trường hợp $n=3$, các số duy nhất có thể xuất hiện dưới dạng $a_{22}$ là 4, 5 hoặc 6 sao cho $b_{2}=3$.)