Câu hỏi 166
Cho $n$ là một số nguyên dương và cho $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$ và $b_1 \le b_2 \le \dots \le b_n$ là hai dãy số thực không giảm sao cho
$$
a_1 + \dots + a_i \le b_1 + \dots + b_i \quad \text{với mọi } i = 1, \dots, n-1
$$
và
$$
a_1 + \dots + a_n = b_1 + \dots + b_n.
$$
Giả sử với mọi số thực $m$, số cặp $(i, j)$ thỏa $a_i - a_j = m$ bằng số cặp $(k, \ell)$ thỏa $b_k - b_\ell = m$. Chứng minh rằng $a_i = b_i$ với $i = 1, \dots, n$.
**Lưu ý:** Điều kiện "với mọi số thực $m$, số cặp $(i, j)$ thỏa $a_i - a_j = m$ bằng số cặp $(k, \ell)$ thỏa $b_k - b_\ell = m$" cần được hiểu là hai đa tập hợp (multi-set) đã cho trùng nhau (đa tập hợp là tập hợp cho phép các phần tử lặp lại).
$$
a_1 + \dots + a_i \le b_1 + \dots + b_i \quad \text{với mọi } i = 1, \dots, n-1
$$
và
$$
a_1 + \dots + a_n = b_1 + \dots + b_n.
$$
Giả sử với mọi số thực $m$, số cặp $(i, j)$ thỏa $a_i - a_j = m$ bằng số cặp $(k, \ell)$ thỏa $b_k - b_\ell = m$. Chứng minh rằng $a_i = b_i$ với $i = 1, \dots, n$.
**Lưu ý:** Điều kiện "với mọi số thực $m$, số cặp $(i, j)$ thỏa $a_i - a_j = m$ bằng số cặp $(k, \ell)$ thỏa $b_k - b_\ell = m$" cần được hiểu là hai đa tập hợp (multi-set) đã cho trùng nhau (đa tập hợp là tập hợp cho phép các phần tử lặp lại).