Câu hỏi 150
Một tính chất thú vị của số 2013 là 3 là chữ số cuối cùng của tổng $2+0+1$. Lặp lại quá trình này, tức là viết thêm về bên phải chữ số cuối cùng của tổng ba chữ số liền trước, ta được một dãy:
$$
2,0,1,3,4,8,5,7 \ldots
$$
a) Chứng minh rằng bắt đầu từ dãy 2,0,1 theo thứ tự đó, ta cũng tìm được ba số liên tiếp $1,2,2$ theo thứ tự đó.
b) Nhận xét rằng nếu một bộ ba số liên tiếp xuất hiện lại theo cùng thứ tự thì toàn bộ dãy sẽ "lặp lại" liên tục. Chẳng hạn, dãy dưới đây không phải là dãy của đề bài, nhưng nó lặp lại sau mỗi bốn số
$$
\ldots \underline{124312431243 \ldots 12431243 \ldots}
$$
Hãy kiểm tra rằng có một bộ ba chữ số lặp lại trong dãy của đề bài.
c) Giả sử ở lần xuất hiện đầu tiên của "$a, b, c$" trong dãy, số đứng ngay trước là $x$, và ở lần xuất hiện thứ hai, số đứng ngay trước là $y$, tức là trong dãy ta gặp các số theo thứ tự sau:
$$
\ldots, x, a, b, c, \ldots, y, a, b, c \ldots
$$
Chứng minh rằng $x=y$.
d) Biết rằng 1,2,2 đã xuất hiện trong dãy theo thứ tự đó, hãy chứng minh rằng cuối cùng dãy chữ số $2,0,1$ sẽ lại xuất hiện, cũng theo thứ tự đó.
$$
2,0,1,3,4,8,5,7 \ldots
$$
a) Chứng minh rằng bắt đầu từ dãy 2,0,1 theo thứ tự đó, ta cũng tìm được ba số liên tiếp $1,2,2$ theo thứ tự đó.
b) Nhận xét rằng nếu một bộ ba số liên tiếp xuất hiện lại theo cùng thứ tự thì toàn bộ dãy sẽ "lặp lại" liên tục. Chẳng hạn, dãy dưới đây không phải là dãy của đề bài, nhưng nó lặp lại sau mỗi bốn số
$$
\ldots \underline{124312431243 \ldots 12431243 \ldots}
$$
Hãy kiểm tra rằng có một bộ ba chữ số lặp lại trong dãy của đề bài.
c) Giả sử ở lần xuất hiện đầu tiên của "$a, b, c$" trong dãy, số đứng ngay trước là $x$, và ở lần xuất hiện thứ hai, số đứng ngay trước là $y$, tức là trong dãy ta gặp các số theo thứ tự sau:
$$
\ldots, x, a, b, c, \ldots, y, a, b, c \ldots
$$
Chứng minh rằng $x=y$.
d) Biết rằng 1,2,2 đã xuất hiện trong dãy theo thứ tự đó, hãy chứng minh rằng cuối cùng dãy chữ số $2,0,1$ sẽ lại xuất hiện, cũng theo thứ tự đó.