Câu hỏi 54
Cho $n$ là một số nguyên dương chẵn cho trước. Đầu tiên John viết lên bảng các số chính phương liên tiếp $1^2, 3^2, \dots, (2n-1)^2$. Sau đó anh ta chọn ra ba số nào đó trong chúng, gọi là $a_1, a_2, a_3$, xóa chúng đi và viết lên bảng số
$$
1 + \sum_{1 \le i \lt j \le 3} |a_i - a_j|
$$
Anh ta tiếp tục như vậy, mỗi lần thay ba số trên bảng bằng một số, cho đến khi trên bảng chỉ còn lại hai số. Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số còn lại khác mọi số trong các số $1^2, 3^2, \dots, (2n-1)^2$ được viết ban đầu trên bảng.
$$
1 + \sum_{1 \le i \lt j \le 3} |a_i - a_j|
$$
Anh ta tiếp tục như vậy, mỗi lần thay ba số trên bảng bằng một số, cho đến khi trên bảng chỉ còn lại hai số. Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số còn lại khác mọi số trong các số $1^2, 3^2, \dots, (2n-1)^2$ được viết ban đầu trên bảng.