Câu hỏi 161
Cho $A$, $B$ và $F$ là các số nguyên dương, và giả sử $A \lt B \lt 2A$. Một con bọ chét đang ở số $0$ trên trục số. Bọ chét có thể di chuyển bằng cách nhảy sang phải $A$ hoặc $B$ đơn vị. Trước khi bọ chét bắt đầu nhảy, Lavaman chọn hữu hạn các khoảng $\{m+1, m+2, \dots, m+A\}$ gồm $A$ số nguyên dương liên tiếp, và đặt lava tại tất cả các số nguyên trong các khoảng đó. Các khoảng phải được chọn sao cho:
(i) hai khoảng phân biệt bất kỳ rời nhau và không liền kề;
(ii) giữa hai khoảng bất kỳ có ít nhất $F$ số nguyên dương không có lava; và
(iii) không đặt lava tại bất kỳ số nguyên nào nhỏ hơn $F$.
Chứng minh rằng giá trị $F$ nhỏ nhất để bọ chét có thể nhảy qua mọi khoảng và tránh mọi lava, bất kể Lavaman làm gì, là $F = (n - 1)A + B$, trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn
$$
\frac{A}{n+1} \leq B - A \lt \frac{A}{n} .
$$
(i) hai khoảng phân biệt bất kỳ rời nhau và không liền kề;
(ii) giữa hai khoảng bất kỳ có ít nhất $F$ số nguyên dương không có lava; và
(iii) không đặt lava tại bất kỳ số nguyên nào nhỏ hơn $F$.
Chứng minh rằng giá trị $F$ nhỏ nhất để bọ chét có thể nhảy qua mọi khoảng và tránh mọi lava, bất kể Lavaman làm gì, là $F = (n - 1)A + B$, trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn
$$
\frac{A}{n+1} \leq B - A \lt \frac{A}{n} .
$$