Câu hỏi 24
Đặt $\{a_k\}_{k=1}^{2011}$ là dãy số thực được xác định bởi $a_1 = 0.201,$ $a_2 = (0.2011)^{a_1},$ $a_3 = (0.20101)^{a_2},$ và $a_4 = (0.201011)^{a_3},$ và tổng quát hơn là $$
a_k = \begin{cases} \tiny \left(0.\underbrace{20101\ldots0101}_{k+2 \text{ digits}}\right)^{a_{k-1}}, & \tiny \text{if } k \text{ is odd,} \\ \tiny \left(0.\underbrace{20101\ldots01011}_{k+2 \text{ digits}}\right)^{a_{k-1}}, & \tiny \text{if } k \text{ is even.} \end{cases}
$$
Sắp xếp lại các số trong dãy $\{a_k\}_{k=1}^{2011}$ theo thứ tự giảm dần sẽ tạo ra một dãy mới $\{b_k\}_{k=1}^{2011}.$ Tổng của tất cả các số nguyên $k,$ $1 \le k \le 2011,$ sao cho $a_k = b_k?$
a_k = \begin{cases} \tiny \left(0.\underbrace{20101\ldots0101}_{k+2 \text{ digits}}\right)^{a_{k-1}}, & \tiny \text{if } k \text{ is odd,} \\ \tiny \left(0.\underbrace{20101\ldots01011}_{k+2 \text{ digits}}\right)^{a_{k-1}}, & \tiny \text{if } k \text{ is even.} \end{cases}
$$
Sắp xếp lại các số trong dãy $\{a_k\}_{k=1}^{2011}$ theo thứ tự giảm dần sẽ tạo ra một dãy mới $\{b_k\}_{k=1}^{2011}.$ Tổng của tất cả các số nguyên $k,$ $1 \le k \le 2011,$ sao cho $a_k = b_k?$