VMO 1988 — Bảng A Câu hỏi 5

Giả sử rằng có tam giác $\triangle ABC$ ba góc nhọn để $\tan A,\tan B,\tan C$ là ba nghiệm của phương trình $x^3+px^2+qx+p=0$ $(q\ne1)$. Chứng minh rằng $p\le-3\sqrt3$ và $q\gt 1$.