Câu hỏi 27
Với số thực $x$, $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ (phần nguyên). Phần thập phân hay phần lẻ là $\{x\}=x-[x]$, nên $x=[x]+\{x\}$. Ví dụ: $[3]=3$, $[6.25]=6$, $[-6.25]=-7$, $[22/7]=3$. Nguồn liệt kê: (1) $0\lt \{x\}\lt 1$ với mọi $x$ thực; (2) $\{x\}=0$ khi và chỉ khi $x$ nguyên; (3) $x-1\lt [x]\le x\lt [x]+1$; (4) $[n+x]=n+[x]$ với $n$ nguyên dương; (5) $[-x]=-[x]-1$ nếu $x$ không nguyên, và $[-x]=-[x]$ nếu $x$ nguyên. Đính chính biên tập: (1) phải là $0\le\{x\}\lt 1$; cận dưới nghiêm ngặt in trong nguồn mâu thuẫn (2). Dưới đây dùng định nghĩa của $[x]$.
Tìm $[x]$ nếu $x=\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot4}+\cdots+\dfrac1{n(n+1)}$, với số nguyên dương $n$.
Tìm $[x]$ nếu $x=\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot4}+\cdots+\dfrac1{n(n+1)}$, với số nguyên dương $n$.