IMO 1991 - Các bài trong danh sách chọn lọc Câu hỏi 29

(FIN 2) Ta gọi một tập $S$ trên trục số thực $\mathbb R$ là siêu bất biến nếu với mọi phép co giãn $A$ của tập bởi phép biến đổi đưa $x$ thành $A(x)=x_0+a(x-x_0)$, tồn tại một phép tịnh tiến $B$, $B(x)=x+b$ sao cho ảnh của $S$ qua $A$ và $B$ trùng nhau; nghĩa là với mọi $x\in S$ tồn tại $y\in S$ sao cho $A(x)=B(y)$, và với mọi $t\in S$ tồn tại $u\in S$ sao cho $B(t)=A(u)$. Xác định tất cả các tập siêu bất biến.
Nhận xét. Giả sử $a>0$.