Câu hỏi 52
(SWE 5) Trong mặt phẳng cho điểm $O$ và dãy điểm $P_1,P_2,P_3,\ldots$. Các khoảng cách $OP_1,OP_2,OP_3,\ldots$ lần lượt là $r_1,r_2,r_3,\ldots$, trong đó $r_1\le r_2\le r_3\le\cdots$. Cho $\alpha$ thỏa mãn $0\lt \alpha\lt 1$. Giả sử với mọi $n$, khoảng cách từ điểm $P_n$ đến bất kỳ điểm nào khác của dãy đều lớn hơn hoặc bằng $r_n^\alpha$. Xác định số mũ $\beta$ lớn nhất có thể sao cho tồn tại $C$ không phụ thuộc vào $n$,[2]
$$r_n\ge Cn^\beta,\qquad n=1,2,\ldots.$$
[2] Bài toán này không sơ cấp. Lời giải do người đề xuất đưa ra chưa thật rõ ràng và đầy đủ, chỉ cho thấy nếu tồn tại một $\beta$ như vậy thì $\beta\ge\frac1{2(1-\alpha)}$.
$$r_n\ge Cn^\beta,\qquad n=1,2,\ldots.$$
[2] Bài toán này không sơ cấp. Lời giải do người đề xuất đưa ra chưa thật rõ ràng và đầy đủ, chỉ cho thấy nếu tồn tại một $\beta$ như vậy thì $\beta\ge\frac1{2(1-\alpha)}$.