Câu hỏi 25
Hàm $ \psi $ từ tập N các số nguyên dương vào chính nó được định nghĩa bởi
$$ \psi(n)=\sum_{k=1}^{n}(k,n),\qquad n\in\mathbb{N}, $$
trong đó $ (k,n) $ là ước chung lớn nhất của k, n.
(a) Chứng minh $ \psi(mn) = \psi(m)\psi(n) $ với hai số $ m, n \in \mathbb{N} $ nguyên tố cùng nhau.
(b) Chứng minh với mỗi $ a \in \mathbb{N} $, phương trình $ \psi(x) = ax $ có nghiệm.
(c) Tìm mọi $ a \in \mathbb{N} $ để phương trình $ \psi(x) = ax $ có nghiệm duy nhất.
$$ \psi(n)=\sum_{k=1}^{n}(k,n),\qquad n\in\mathbb{N}, $$
trong đó $ (k,n) $ là ước chung lớn nhất của k, n.
(a) Chứng minh $ \psi(mn) = \psi(m)\psi(n) $ với hai số $ m, n \in \mathbb{N} $ nguyên tố cùng nhau.
(b) Chứng minh với mỗi $ a \in \mathbb{N} $, phương trình $ \psi(x) = ax $ có nghiệm.
(c) Tìm mọi $ a \in \mathbb{N} $ để phương trình $ \psi(x) = ax $ có nghiệm duy nhất.