Câu hỏi 25
Cố định số nguyên $k \geqslant 2$. Ana và Banana chơi trò số sau: ban đầu viết số nguyên $n \geqslant k$ lên bảng. Hai người luân phiên đi, Ana đi trước. Người đến lượt xóa số $m$ vừa viết, thay bằng số $m^{\prime}$ thỏa mãn $k \leqslant m^{\prime}\lt m$, nguyên tố cùng nhau với $m$. Người đầu tiên không còn nước đi sẽ thua.
Số nguyên $n \geqslant k$ được gọi là tốt nếu Banana có chiến lược thắng khi số ban đầu là $n$, và xấu trong trường hợp còn lại.
Xét hai số nguyên $n, n^{\prime} \geqslant k$ sao cho mỗi số nguyên tố $p \leqslant k$ là ước của $n$ khi và chỉ khi là ước của $n^{\prime}$. Chứng minh $n$, $n^{\prime}$ cùng tốt hoặc cùng xấu.
Số nguyên $n \geqslant k$ được gọi là tốt nếu Banana có chiến lược thắng khi số ban đầu là $n$, và xấu trong trường hợp còn lại.
Xét hai số nguyên $n, n^{\prime} \geqslant k$ sao cho mỗi số nguyên tố $p \leqslant k$ là ước của $n$ khi và chỉ khi là ước của $n^{\prime}$. Chứng minh $n$, $n^{\prime}$ cùng tốt hoặc cùng xấu.