IMO 2011 — Toàn bộ Shortlist Câu hỏi 23

Với số nguyên $d\gt 0$, gọi $f(d)$ là số nguyên dương nhỏ nhất có đúng $d$ ước dương; chẳng hạn $f(1)=1, f(5)=16$, $f(6)=12$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k \geq 0$, $f\left(2^{k}\right)$ là ước của $f\left(2^{k+1}\right)$.