Câu hỏi 31
Đặt $Q$ là tập hợp các số nguyên tố, không nhất thiết phải là hữu hạn. Đối với số nguyên dương $n$, hãy xem xét phân tích ra thừa số nguyên tố của nó; xác định $p(n)$ là tổng của tất cả các số mũ và $q(n)$ là tổng của các số mũ chỉ tương ứng với các số nguyên tố trong $Q$. Số nguyên dương $n$ được gọi là đặc biệt nếu $p(n)+p(n+1)$ và $q(n)+q(n+1)$ đều là số nguyên chẵn. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $c\gt 0$ độc lập với tập $Q$ sao cho với mọi số nguyên dương $N\gt 100$, số số nguyên đặc biệt trong $[1, N]$ ít nhất là $c N$.
(Ví dụ: nếu $Q=\{3,7\}$ thì $p(42)=3, q(42)=2, p(63)=3, q(63)=3, p(2022)=3$, $q(2022)=1$.)
(Ví dụ: nếu $Q=\{3,7\}$ thì $p(42)=3, q(42)=2, p(63)=3, q(63)=3, p(2022)=3$, $q(2022)=1$.)