IMO 2021 — Toàn bộ Shortlist Câu hỏi 28

Alice được cho một số hữu tỉ $r\gt 1$ và một đường thẳng có hai điểm $B \neq R$, trong đó điểm $R$ chứa một hạt màu đỏ và điểm $B$ chứa một hạt màu xanh. Alice chơi trò chơi solitaire bằng cách thực hiện dãy nước đi. Trong mỗi nước đi, cô ấy chọn một số nguyên $k$ (không nhất thiết phải dương) và một hạt để di chuyển. Nếu hạt đó được đặt tại điểm $X$ và hạt còn lại được đặt ở $Y$, thì Alice di chuyển hạt đã chọn tới điểm $X^{\prime}$ với $\overrightarrow{Y X^{\prime}}=r^{k} \overrightarrow{Y X}$.

Mục tiêu của Alice là di chuyển hạt màu đỏ đến điểm $B$. Tìm tất cả các số hữu tỉ $r\gt 1$ sao cho Alice có thể đạt được mục tiêu của mình trong tối đa 2021 nước đi.