Câu hỏi 154
Cho $a$ và $b$ là số thực dương với tích khác với $1$, hoạt động của ngôi sao được xác định, được đại diện bởi “$*$”, bằng phương trình $$
a * b = \frac{a + b - 2ab}{1 - ab}.
$$ Trên bảng đen, số $2015$ được viết bằng số tương tự $\frac{1}{2}$. Tại mỗi bước, hai số $x$ và $y$ được xóa trên bảng và số $x * y$ được viết. Bước này được lặp lại $2014$ cho đến khi chỉ còn một số trên bảng.
a. chứng minh rằng phương trình $$
\frac{x * y}{1 - x * y} = \frac{x}{1 - x} + \frac{y}{1 - y}
$$ là đúng với bất kỳ $x$ và $y$ thực với $x \neq 1$, $y \neq 1$ và $xy \neq 1$.
b. Nếu với mỗi số $x$ được ghi trên bảng, chúng tôi tính $\frac{x}{1 - x}$ và cộng tất cả các kết quả này, chúng tôi sẽ có một kết quả nhất định. Chứng minh rằng kết quả này luôn giống nhau cho dù đã thực hiện bao nhiêu bước cho đến nay.
c. Số nào sẽ được viết trên bảng ở cuối các bước $2014$?
a * b = \frac{a + b - 2ab}{1 - ab}.
$$ Trên bảng đen, số $2015$ được viết bằng số tương tự $\frac{1}{2}$. Tại mỗi bước, hai số $x$ và $y$ được xóa trên bảng và số $x * y$ được viết. Bước này được lặp lại $2014$ cho đến khi chỉ còn một số trên bảng.
a. chứng minh rằng phương trình $$
\frac{x * y}{1 - x * y} = \frac{x}{1 - x} + \frac{y}{1 - y}
$$ là đúng với bất kỳ $x$ và $y$ thực với $x \neq 1$, $y \neq 1$ và $xy \neq 1$.
b. Nếu với mỗi số $x$ được ghi trên bảng, chúng tôi tính $\frac{x}{1 - x}$ và cộng tất cả các kết quả này, chúng tôi sẽ có một kết quả nhất định. Chứng minh rằng kết quả này luôn giống nhau cho dù đã thực hiện bao nhiêu bước cho đến nay.
c. Số nào sẽ được viết trên bảng ở cuối các bước $2014$?