Ngân hàng câu hỏi APMOPS 2012

Tính $29999+2999+299+29+9$.

$ABCD$ là hình bình hành. $P,Q,R,S$ là trung điểm của bốn cạnh. Miền tô đậm có diện tích $20\text{ cm}^2$. Tìm diện tích hình bình hành $ABCD$.

Jane cộng tất cả chữ số của số $3^{2012}$ (tích của 2012 thừa số bằng 3), được số mới $n_1$. Sau đó bạn cộng các chữ số của $n_1$, được $n_2$. Bạn tiếp tục đến khi thu được số có một chữ số. Tìm số đó.

Hình vẽ gồm ba đường tròn. Đường tròn nhỏ nhất đi qua tâm đường tròn vừa; đường tròn vừa đi qua tâm đường tròn lớn nhất. Tìm tỉ số diện tích phần tô đậm và phần không tô. Nhập tỉ số dưới dạng phân số.

Tích của bốn số nguyên không âm liên tiếp bằng 5040. Tìm số nhỏ nhất.

Hình vẽ gồm ba đường tròn lần lượt có tâm $P,Q,R$, mỗi đường tròn tiếp xúc ngoài với hai đường tròn còn lại. Biết $PQ=35$ cm, $QR=36$ cm, $PR=37$ cm. Tìm bán kính đường tròn tâm $R$.

$12!$ bằng số nào sau đây? [Chú ý: $n!=n(n-1)(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1$; ví dụ $5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$.]

Chỉ một trong ba bạn Abel, Ben, Cain biết bơi. Abel nói: “Tôi biết bơi.” Ben nói: “Tôi không biết bơi.” Cain nói: “Abel không biết bơi.” Chỉ một bạn nói thật. Ai biết bơi?

Mười bạn nam nhận bài kiểm tra có điểm tối đa 10. Mỗi bạn cộng điểm của chín bạn còn lại. Mười tổng thu được là 66, 66, 67, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 72. Tìm điểm thấp nhất.

$D,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. $BE$ cắt $CD$ tại $F$. Biết diện tích tứ giác $ADFE$ bằng $256\text{ cm}^2$, tìm diện tích tam giác $ABE$.

Đường tròn tâm $O$ đi qua $A,B$ như hình, có bán kính 5 cm và $\angle AOB=120^\circ$. Tìm bán kính đường tròn khác đi qua $O,A,B$.

Một đường thẳng chia mặt phẳng thành nhiều nhất 2 miền; hai đường thẳng chia thành nhiều nhất 4 miền. Tìm số miền lớn nhất mà 5 đường thẳng có thể chia mặt phẳng thành.

Tính $\frac11+\frac12+\frac22+\frac13+\frac23+\frac33+\frac14+\frac24+\frac34+\frac44+\cdots+\frac1{100}+\frac2{100}+\cdots+\frac{99}{100}+\frac{100}{100}$.

Hai tàu $A,B$ chạy ngược chiều về phía nhau, mỗi tàu có vận tốc 48 km/h. Jane ngồi trên tàu $A$ thấy tàu $B$ đi qua mình trong 6 giây. Tìm chiều dài tàu $B$, tính bằng mét.

Tìm số nguyên không âm lớn nhất nhỏ hơn $\dfrac1{\frac1{101}+\frac1{102}+\cdots+\frac1{109}+\frac1{110}}$.

Tìm số nguyên không âm lớn nhất $k$ sao cho $12^{50}>k^{75}$, trong đó vế trái có 50 thừa số bằng 12 và vế phải có 75 thừa số bằng $k$.

Jane được cho một khoản tiền cho chuyến đi 10 ngày. Cuối ngày 1, bạn tiêu $1/10$ số tiền; cuối ngày 2, tiêu $1/9$ số tiền còn lại; cuối ngày 3, tiêu $1/8$ số còn lại; cứ tiếp tục như vậy. Cuối ngày 9, bạn tiêu $1/2$ số tiền còn lại và còn 99 đô la. Ban đầu Jane có bao nhiêu đô la?

Bốn lớp $A,B,C,D$ đều có dưới 50 học sinh và sĩ số trung bình là 46. Sĩ số $A,B$ chênh nhau 4; $B,C$ chênh nhau 3; $C,D$ chênh nhau 2. Nếu $A$ đông nhất, tìm sĩ số lớp $A$.

Hình vẽ gồm bốn miền. Dùng tối đa bốn màu cho trước để tô sao cho mỗi miền chỉ có một màu và hai miền kề nhau khác màu. Có bao nhiêu cách tô?

Hình gồm ba hình vuông và một tam giác. Tìm tổng ba góc $x,y,z$, tính bằng độ.