Ngân hàng câu hỏi AMC10 2005

Trong khi đi ăn ngoài, Mike và Joe mỗi người boa cho người phục vụ của họ $\$2.$ Mike boa $10\%$ hóa đơn của anh ấy và Joe boa $20\%$ hóa đơn của anh ấy. Sự khác biệt tính bằng đô la giữa các tờ tiền của họ là gì?

Với mỗi cặp số thực $a \neq b,$ xác định phép toán $\star$ là $$
(a \star b) = \frac{a+b}{a-b}.
$$

Giá trị của $((1 \star 2) \star 3)?$ là bao nhiêu

Các phương trình $2x + 7 = 3$ và $bx - 10 = -2$ có cùng nghiệm $x.$ Giá trị của $b?$ là bao nhiêu

Một hình chữ nhật có đường chéo có chiều dài $x$ có chiều dài gấp đôi chiều rộng. diện tích của hình chữ nhật là gì?

Một cửa hàng thường bán cửa sổ với giá $\$100$ mỗi cửa sổ. Tuần này cửa hàng sẽ cung cấp một cửa sổ miễn phí cho mỗi lần mua bốn chiếc. Dave cần bảy cửa sổ và Doug cần tám cửa sổ. Họ sẽ tiết kiệm được bao nhiêu đô la nếu họ mua các cửa sổ cùng nhau thay vì mua riêng lẻ?

Trung bình (trung bình cộng) của $20$ số là $30,$ và trung bình của $30$ các số khác là $20.$ Trung bình cộng của tất cả các số $50$ là bao nhiêu?

Josh và Mike sống cách nhau $13$ dặm. Hôm qua Josh bắt đầu đạp xe về phía nhà Mike. Một lúc sau Mike bắt đầu đạp xe về phía nhà Josh. Khi họ gặp nhau, Josh đã lái xe với thời gian gấp đôi Mike và bằng 4/5 tốc độ của Mike. Mike đã đi được bao nhiêu dặm khi họ gặp nhau?

Trong hình, độ dài cạnh $AB$ của hình vuông $ABCD$ là $\sqrt{50},$ $E$ nằm giữa $B$ và $H,$ và $BE = 1.$ diện tích của hình vuông bên trong là bao nhiêu $EFGH?$

Ba ô được đánh dấu X và hai ô khác được đánh dấu O. Năm ô được sắp xếp ngẫu nhiên thành một hàng. xác suất mà sự sắp xếp ghi XOXOX là gì?

Có hai giá trị của $a$ mà phương trình $4x^2 + ax + 8x + 9 = 0$ chỉ có một nghiệm cho $x.$ Tổng các giá trị đó của $a?$ là bao nhiêu

Một khối lập phương bằng gỗ $n$ ở một bên được sơn màu đỏ trên cả sáu mặt và sau đó được cắt thành các khối đơn vị $n^3$. Chính xác một phần tư tổng số mặt của các khối đơn vị có màu đỏ. $n?$ là gì

Hình minh họa được gọi là *trefoil* và được xây dựng bằng cách vẽ các cung tròn quanh các cạnh của các tam giác đều bằng nhau. diện tích của hình tam giác có đế ngang có chiều dài $2?$ là bao nhiêu

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ thỏa mãn điều kiện sau:

$$
(130n)^{50} \gt n^{100} \gt 2^{200}?
$$

Có bao nhiêu số có ba chữ số thỏa mãn tính chất chữ số ở giữa bằng trung bình cộng của chữ số đầu và chữ số cuối?

Có bao nhiêu khối dương chia $3! \cdot 5! \cdot 7!?$

Tổng các chữ số của một số có hai chữ số được trừ vào số đó. chữ số hàng đơn vị của kết quả là $6.$ Có bao nhiêu số có hai chữ số có thuộc tính này?

Trong ngôi sao năm mặt được hiển thị, các chữ cái $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ và $E$ được thay thế bằng các số $3,$ $5,$ $6,$ $7,$ và $9,$ mặc dù không nhất thiết phải theo thứ tự này. Tổng các số ở cuối các đoạn đường $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE,$ và $EA$ tạo thành cấp số cộng, mặc dù không nhất thiết phải theo thứ tự này. Số hạng giữa của cấp số cộng là gì?

Đội A và đội B đấu một loạt. Đội đầu tiên thắng ba trận sẽ thắng loạt trận. Mỗi đội đều có khả năng giành chiến thắng trong mỗi trận đấu như nhau, không có tỷ số hòa và kết quả của các trận đấu riêng lẻ là độc lập. Nếu đội B thắng ván thứ hai và đội A thắng loạt trận, xác suất đội B thắng ván đầu tiên là bao nhiêu?

Ba hình vuông một inch được đặt với các đáy của chúng nằm trên một đường thẳng. Hình vuông ở giữa được nhấc ra và xoay $45^\circ,$ như minh họa. Sau đó, nó được căn giữa và hạ xuống vị trí ban đầu cho đến khi chạm vào cả hai hình vuông liền kề. Điểm $B$ cách đường thẳng chứa các đáy của các hình vuông ban đầu là bao nhiêu inch?

Một hình bát giác đều có bốn cạnh dài $1$ và bốn cạnh dài $\dfrac{\sqrt{2}}{2},$ được sắp xếp sao cho không có hai cạnh liên tiếp nào có cùng độ dài. diện tích của hình bát giác là gì?