SEAMO X 2024 — Paper D — Lớp 7–8

Tìm số dư khi chia $2024^{2024}$ cho bảy.

Tam giác ABC có $AB=3,BC=4,AC=5$. Nếu $\sin2A=x/y$ với x,y nguyên dương nguyên tố cùng nhau, tính x+y.

Tìm dư khi chia $x^3+3x^2+2x+1$ cho $x-2$.

Tính $\sqrt[256]{(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)\cdots(2^{256}+1)+1}$.

Với $a\gt 1$, tìm nhỏ nhất của $2\log_{100}a-\log_a(0.0001)$.

Số bốn chữ số $\overline{abcd}$ chia hết cho mười một, $b+c=a$, $\overline{bc}$ chính phương, không chữ số nào bằng không. Tìm số nhỏ nhất.

Cho $y=\sqrt{\frac{x^2-2}{5x-4}}-\sqrt{\frac{x^2-2}{4-5x}}+2$. Tính $x^2+y^2$ với x,y thực.

Với n nguyên dương, đặt $A_n=(20^n+24^n)/n!$. Tìm n để A_n lớn nhất.

Chia bảy hạt màu khác nhau vào bốn giỏ giống nhau, không giỏ nào rỗng. Có bao nhiêu cách?

Tính $480\sum_{k=2}^{15}1/(k^2-1)$.

Phương trình $x^2+2(k+3)x+k^2+3=0$ có hai nghiệm thực phân biệt $\alpha,\beta$, k nguyên. Tìm nhỏ nhất của $(\alpha-1)^2+(\beta-1)^2$.

Các số thực a,b,c thỏa $a+2b+c=4$. Tìm lớn nhất của ab+bc+ca.

ABCD là hình vuông cạnh hai cm. BPC đều. Tam giác BPD có diện tích k cm vuông. Tính $\sqrt3-k$. Dùng hình trong nguồn.

Khối lập phương có thể tích một cm khối. M trung điểm cạnh GC. Đường ngắn nhất trên mặt khối từ A tới M dài $\sqrt a/b$ cm, a,b nguyên, a không chứa thừa số chính phương. Tính a+b.

I là tâm nội tiếp tam giác ABC. Kéo dài AI gặp đường tròn ngoại tiếp tại D. Biết $AB=3,AC=4$, diện tích IBC bằng DBC. Tính $4BC$.