SEAMO X 2022 — Paper D — Lớp 7–8

Đặt $A=\sum_{k=1}^{2022}\frac1{k\sqrt{k+1}+(k+1)\sqrt k}$. Giả sử $A=a+b/\sqrt c$, a,b,c nguyên và c không chia hết cho số chính phương lớn hơn một. Tìm a+b+c.

Các chữ khác nhau biểu diễn các chữ số khác nhau trong $MATH+MATH=HABIT$. Tìm HABIT.

Mười đường thẳng đồng quy. Đường thứ mười một song song một trong số đó. Các đường này tạo bao nhiêu tam giác phân biệt?

Với a,b,c thực khác không, biểu thức $a/|a|+b/|b|+c/|c|$ có thể nhận bao nhiêu giá trị?

Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất để $2^{83}+k$ chia hết cho một trăm hai mươi bảy.

Với một cấp số cộng, $S_n$ là tổng n số hạng đầu. Biết $S_{15}\gt 0,S_{16}\lt 0$, đặt $x_i=S_i/a_i$ với $1\le i\le15$. x_i lớn nhất khi i nào?

Tìm tổng các ước nguyên dương chẵn của mười nghìn.

Hình thoi ABCD có tam giác ABC, ABD với bán kính ngoại tiếp lần lượt ba mươi cm, mười cm. Tính diện tích hình thoi.

Tìm tổng tất cả các số có bốn chữ số lập từ không, một, hai, ba, bốn, không lặp chữ số.

Gọi d(n) là chữ số hàng đơn vị của $1+2+\cdots+n$. Tính $d(1)+d(2)+\cdots+d(2022)$.

Gấp hình chữ nhật tám nhân mười lăm để hai đỉnh đối diện theo đường chéo trùng nhau. Tìm độ dài nếp gấp.

Các số nguyên tố p,q,r thỏa $pqr=19(p+q+r)$. Tính $p^2+q^2+r^2$.

Xếp tất cả các hoán vị phân biệt của LETTER theo thứ tự chữ cái. Tìm từ thứ một trăm.

Tam giác ABC có AB=AC, góc BAC bằng một trăm hai mươi độ. D trung điểm BC; E trên AB, DE vuông góc AB. Tìm AE:BD.

Các số nguyên $a_1,\ldots,a_n$, $n\gt 1$, có tổng và tích cùng bằng một trăm mười một. Tìm n nhỏ nhất.