AMC 10B năm 2024

Trong một hàng dài người được sắp xếp từ trái sang phải, người thứ $1013$từ bên trái cũng là người thứ $1010$từ bên phải. Có bao nhiêu người trong hàng?

$10! - 7! \cdot 6!?$ là gì

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ là $|2x| \le 7\pi?$

Các quả bóng được đánh số $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ được gửi vào các thùng $5$, được dán nhãn $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ và $E,$ bằng cách sử dụng quy trình sau. Bóng $1$ được gửi vào thùng $A,$ và các quả bóng $2$ và $3$ được gửi vào thùng $B.$ Các quả bóng $3$ tiếp theo được gửi vào thùng $C,$ $4$ tiếp theo trong thùng $D,$, v.v., quay trở lại thùng $A$ sau khi bóng được gửi vào thùng $E.$ (Ví dụ: các bóng được đánh số $22,$ $23,$ $\ldots,$ $28$ được gửi vào thùng $B$ ở bước $7$ của quá trình này.) Bóng $2024$ được gửi vào thùng nào?

Trong biểu thức sau, Melanie đã thay đổi một số dấu cộng thành dấu trừ:

$$
1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 97 + 99
$$

Khi biểu thức mới được đánh giá, nó có giá trị âm. Số dấu cộng ít nhất mà Melanie có thể đổi thành dấu trừ là bao nhiêu?

Một hình chữ nhật có độ dài các cạnh là số nguyên và diện tích của $2024.$ chu vi nhỏ nhất có thể có của hình chữ nhật là bao nhiêu?

số dư là gì khi $7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}$ được chia cho $19?$

Đặt $N$ là tích của tất cả các ước số nguyên dương của $42.$ chữ số hàng đơn vị của $N?$ là bao nhiêu

Các số thực $a,$ $b,$ và $c$ có số học trung bình cộng $0.$ Số học trung bình cộng của $a^2,$ $b^2,$ và $c^2$ là $10.$ Số học trung bình cộng của $ab,$ $ac,$ và $bc?$ là gì

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành và $E$ là trung điểm của cạnh $\overline{AD}.$ Gọi $F$ là giao điểm của các đường thẳng $EB$ và $AC.$ Tỉ số của diện tích của tứ giác là bao nhiêu $CDEF$ đến diện tích của tam giác $CFB?$

Trong hình bên dưới $WXYZ$ là một hình chữ nhật có $WX = 4$ và $WZ = 8.$ Điểm $M$ nằm trên $\overline{XY},$ điểm $A$ nằm trên $\overline{YZ},$ và $\angle WMA$ là một góc vuông. Diện tích của $\triangle WXM$ và $\triangle WAZ$ bằng nhau. diện tích của $\triangle WMA?$ là gì

Một nhóm $100$ học sinh từ các quốc gia khác nhau gặp nhau tại một cuộc thi toán học. Mỗi học sinh nói cùng một số ngôn ngữ và với mỗi cặp học sinh $A$ và $B,$ học sinh $A$ nói một số ngôn ngữ mà học sinh $B$ không nói được và học sinh $B$ nói một số ngôn ngữ mà học sinh $A$ không nói được. Tổng số ngôn ngữ mà tất cả học sinh có thể nói ít nhất là bao nhiêu?

Các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn phương trình $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1183}.$ Giá trị tối thiểu có thể có của $x + y?$ là bao nhiêu

Bảng phi tiêu là vùng $B$ trong mặt phẳng tọa độ bao gồm các điểm $(x, y)$ sao cho $|x| + |y| \le 8.$ Mục tiêu $T$ là vùng trong đó $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49.$ Phi tiêu được ném và hạ cánh tại một điểm ngẫu nhiên trong $B.$ xác suất mà phi tiêu hạ cánh trong $T$ có thể được biểu thị dưới dạng $\dfrac{m}{n} \cdot \pi,$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. $m + n?$ là gì

Danh sách các số thực $9$ bao gồm $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ $7,$ cũng như $x,$ $y,$ $z$ với $x \le y \le z.$ Phạm vi của danh sách là $7,$ và trung bình cộng và trung vị đều là số nguyên dương. Có thể có bao nhiêu bộ ba có thứ tự $(x, y, z)$?

Jerry thích chơi với những con số. Một ngày nọ, anh ấy viết tất cả các số nguyên từ $1$ đến $2024$ lên bảng trắng. Sau đó, anh liên tục chọn bốn số trên bảng trắng, xóa chúng và thay thế bằng tổng hoặc tích của chúng. (Ví dụ: bước đầu tiên của Jerry có thể là xóa $1,$ $2,$ $3,$ và $5,$ rồi viết $11,$ tổng của chúng hoặc $30,$ tích của chúng lên bảng trắng.) Sau khi thực hiện nhiều lần thao tác này, Jerry nhận thấy rằng tất cả các số còn lại trên bảng trắng đều là kỳ quặc. Số số nguyên tối đa có thể có trên bảng lúc đó là bao nhiêu?

Trong một cuộc đua giữa $5$ ốc sên, có nhiều nhất một chiếc hòa, nhưng chiếc hòa đó có thể liên quan đến số lượng ốc bất kỳ. Ví dụ: kết quả của cuộc đua có thể là Dazzler về nhất; Abby, Cyrus và Elroy đứng thứ hai; và Bruna đứng thứ năm. Có bao nhiêu kết quả khác nhau của cuộc đua có thể xảy ra?

Có thể có bao nhiêu số dư khác nhau khi chia lũy thừa thứ $100$ của một số nguyên cho $125?$

Trong bảng sau, mỗi dấu chấm hỏi sẽ được thay thế bằng “Có thể” hoặc “Không thể” để cho biết liệu một đường không thẳng đứng với độ dốc đã cho có thể chứa số điểm mạng nhất định hay không (cả hai điểm đều có tọa độ là số nguyên). Có bao nhiêu mục trong $12$ sẽ là “Có thể”?

Ba đôi giày khác nhau được xếp thành một hàng sao cho không có chiếc giày bên trái nào nằm cạnh chiếc giày bên phải của một đôi khác. Có bao nhiêu cách xếp sáu chiếc giày này thành hàng?