SEAMO 2019 — Paper E — Lớp 9–10

Tính $\frac{4^8+4^8+4^8+4^8}{3^8+3^8+3^8}\times\frac{6^8+6^8+6^8+6^8+6^8+6^8}{2^8+2^8}$.

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn $a^2-b^2=361$?

Cho $(62)_n=4(14)_n$. Tính giá trị của $(36)_n$ trong hệ thập phân.

Có bao nhiêu cặp số nguyên $(m,n)$ thỏa mãn $m^3+6m^2+5m=21n^3+9n^2+3n+1$?

Tìm chữ số hàng đơn vị của $(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)(2^{64}+1)$.

Cho $\log_{10}2=m$, $\log_{10}3=n$. Biểu diễn $\log_5 24$ theo $m,n$.

Cho $0\le\theta\le\pi/2$, $\sin2\theta=a$. Tính $\sin\theta+\cos\theta$.

Trong $\triangle ABC$, $AC=3AD$, $BC=3EC$, $BG:GF:FD=3:1:2$ trên $BD$. Biết $[\triangle ABC]=2700\,\mathrm{cm}^2$, tính $[\triangle EFG]$.

Có bao nhiêu đường đi tạo thành “SEAMO”, bắt đầu từ S ở giữa và chỉ đi lên, xuống, trái hoặc phải? Hình tô đậm một đường đi mẫu.

Cắt bỏ mỗi đỉnh trong tám đỉnh của một hình hộp chữ nhật. Hình vẽ thể hiện hai vết cắt. Các mặt phẳng cắt không giao nhau trong hay trên hình hộp. Khối mới có bao nhiêu cạnh?

Số đối xứng là số nguyên dương đọc xuôi và đọc ngược giống nhau, chẳng hạn $12521$ hoặc $270072$. Chọn ngẫu nhiên đều một số đối xứng giữa $1000$ và $10000$. Tính xác suất số đó chia hết cho $7$.

Tính $\sqrt{1+2019^2-\frac{2019^2}{2020^2}}-\frac1{2020}$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ sao cho $1+2+\cdots+n$ là ước của $12n$?

Hình vuông $ABCD$ có cạnh $10\,\mathrm{cm}$. Hai điểm $E,F$ thay đổi trên $BC,CD$, thỏa mãn $BE=CF$. Tìm diện tích nhỏ nhất của $\triangle AEF$ theo $\mathrm{cm}^2$.

Số nguyên tám chữ số $m=\overline{2x192y20}$ chia hết cho $41$. Có bao nhiêu cặp chữ số $(x,y)$?

Một giải cầu lông có $100$ người chơi. Người thua bị loại, người thắng đi tiếp, không có hòa. Vòng $1$ có $28$ người được miễn đấu, $72$ người còn lại ghép cặp. Thi đấu đến khi còn một người chưa thua. Tổng cộng có bao nhiêu trận?

Công tơ mét hiển thị tổng số kilômét xe đã chạy. Leonard lái xe trong một số nguyên dương giờ với vận tốc trung bình $55\,\mathrm{km/h}$. Số chỉ đổi từ $\overline{abc}$ thành $\overline{cba}$. Biết $a\ge1$, $a+b+c\le7$, tính $a^3+b^3+c^3$.

Trong một tam giác, các cạnh $a,b,c$ đối diện các góc $A,B,C$. Biết $a^2=1$, $b^2+c^2=2019$. Tính $\frac{\cot A}{\cot B+\cot C}$.

Với $i=1,\ldots,100$, $x_i$ nhận một trong hai giá trị $\sqrt3-\sqrt2$, $\sqrt3+\sqrt2$. Tổng $S=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{99}x_{100}$ có thể nhận bao nhiêu giá trị nguyên dương khác nhau?

Mười ba đường tròn bằng nhau bán kính $1$ nằm trong đường tròn lớn như hình. Mọi giao điểm đều là điểm tiếp xúc. Tính diện tích tô đậm.