VTMO 2016 — Lớp 9 — Bán kết

$a , b$ nguyên dương thỏa $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \frac{8}{2 a + b}$ và $2010 \lt 4 a + 7 b \lt 2016$. Tính $a + b$. Các lựa chọn gốc: $A = 336 , B = 333 , C = 330 , D = 339 , E = 342$.

Tìm $n$ lớn nhất để $59$! chia hết $2016^{n}$.

Tìm chữ số hàng đơn vị của $1 \times 3 \times 5 \times 7 + 3 \times 5 \times 7 \times 9 + \ldots + 2011 \times 2013 \times 2015 \times 2017$.

Xe bus có ghế một chỗ và hai chỗ. Một lần có $13$ người, $9$ ghế trống; lần khác $10$ người, $6$ ghế trống. Có bao nhiêu ghế, không tính ghế tài xế?

Bốn cạnh và một đường chéo tứ giác có độ dài $1 , 2 , 2.8 , 5 , 7.5$. Đường chéo được đo dài bao nhiêu?

Có bao nhiêu tam giác với cạnh nguyên $x \lt y \lt z$ và chu vi $27 \,\mathrm{cm}$?

$A \left(0 , a\right) , D \left(0 , - 1\right) , B \left(2 , - 1\right) , C \left(3 , 2\right) , O \left(0 , 0\right)$. Tam giác $ADB , CBO$ cùng diện tích. Tính $a$ theo hình.

An ở phía Tây Bình $100 m$, Châu ở phía Đông $160 m$. An đi Nam $20 m /$ phút, Châu đi Bắc $41 m /$ phút, Bình đứng yên. Sau bao lâu khoảng cách Châu–Bình gấp $2$ An–Bình?

Ít nhất lấy bao nhiêu số lẻ từ $\{ 123 , 124 , \ldots , 2016 \}$ để chắc chắn có hai số lẻ tổng $2016$?

Trong $\frac{1}{4}$ đường tròn bán kính $R$ có hai nửa đường tròn tiếp xúc nhau và một đường tròn nhỏ tiếp xúc cả hai như hình. Vùng đen diện tích $\pi \frac{R^{2}}{x}$. Tìm $x$.

Tích $5$ số nguyên tố lẻ khác nhau có dạng abcab, với $c = 0$. Có bao nhiêu bộ $5$ số như vậy?

Chia $100$ quả táo và $o = 20$ túi, mỗi túi đúng $3$ quả hoặc $x$ quả. Có bao nhiêu giá trị nguyên $x$?

Tam giác $P _{1} QR _{1}$ vuông $Q , P _{1} Q = 2 \,\mathrm{cm} , R _{1} Q = 5 \,\mathrm{cm}$. $P _{n}$ trên tia $QP _{1} , R _{n}$ trên tia $QR _{1}$ với các đoạn liên tiếp $1 \,\mathrm{cm}$. Tìm $n$ để diện tích $P _{n} P _{n}$₊$_{1} R _{n}$₊$_{1} R _{n}$ bằng $2016 \,\mathrm{cm}^{2}$.

Vở $10000$ đ/cuốn. $A$ mua $5$ tặng $1$ (mua $9$ chỉ tặng $1$). $B$ giảm $15 \%$ khi mua ít nhất $4$. Ít nhất bao nhiêu tiền để có $14$ cuốn, có thể mua ở cả hai?

Thuật toán Luhn: đảo dãy số; cộng chữ số vị trí lẻ thành $A$; nhân đôi chữ số vị trí chẵn rồi cộng các chữ số của kết quả thành $B$; dãy hợp lệ khi $A + B$ chia $10$. Ví dụ $4634 8932 1298 2767$ đảo thành $7672 8921 2398 4364$ có $A = 45 , B = 45$. Dãy $2853 00 QP P = 003 6002$ hợp lệ, $P , Q$ là chữ số và $P \le Q$. Có bao nhiêu cặp $\left(P , Q\right)$?