VTMO 2014 — Lớp 9 — Chung kết

Giải $\sqrt{2 x + 1} + \sqrt{x} = \sqrt{6 x + 1}$.

$x + y + z = 5 , x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$. $a$)Chứng minh $1 \le x , y , z \le \frac{7}{3}$. $b$)Tìm min, $\max P = xyz$.

Tìm $3$ số nguyên dương lớn hơn $1$ sao cho tích hai số bất kỳ cộng $1$ chia hết số còn lại.

$\left(O\right)$ đường kính $AB$. $C \in \left(O\right) , CD \parallel AB , D \in \left(O\right)$. $E \in AB$ với $AE = BD$. $CE$ kéo dài cắt $\left(O\right)$ tại $M$; $DO$ kéo dài cắt $\left(O\right)$ tại $N$; $AN \cap BM = F$. Chứng minh $EF \perp AB$.

$\left(O\right)$ đường kính $AB , C \in AB$. Hai đường tròn đường kính $AC , CB$; $M \in \left(O\right) , M \ne A , B$; $ME , MF$ là các tiếp tuyến đến hai đường tròn nhỏ. $a$)Chứng minh $\left(\frac{ME}{MA}\right)^{2} + \left(\frac{MF}{MB}\right)^{2} = 1$. $b$)Tìm $C$ để $ME = \frac{MA}{2}$.

Học sinh đứng vòng tròn, bắt tay hai người đứng cạnh. $b , g$ là số nam, nữ; $B , G$ là số cặp bắt tay nam–nam, nữ–nữ. Chứng minh $b - g = B - G$.