VTMO 2021 — Lớp 8 — Cúp Titan

Tìm nguyên tốp để $\frac{1}{p} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ với $a , b$ nguyên.

Tìm $a , b$ thực để $| ax$+by $| + | bx + ay | = | x | + | y |$ với mọi $x , y$.

$n^{3} + 3 n^{2} + 3 n$ tận cùng $4 , n$ dương. Tìm chữ số cuối $31 n^{2} + n + 2021$.

Nền $15 \times 7$ lát gạch $L = 3$ ô và vuông $2 \times 2$ như hình. Đề chưa ghi yêu cầu sau hình; theo lời giải nguồn xét cận số viên vuông.

$a ) ABCD$ lồi, $I$ trung điểm $AC , M \in AC , AM = \sqrt{2}$ AI. Qua $M$ song song $BC , DC$ gặp $AB , AD$ tại $E , F$. Chứng minh $S_{IEF} = \frac{S_{MDB}}{2}$. $b ) ABC$ nhọn, $AM$ trung tuyến, $BE$ đường cao, $K = AM \cap BE , AM = BE$. Chứng minh $AC = \sqrt{3} BK$.