VTMO 2019 — Lớp 8 — Chung kết

$a , b$ thực, $a^{3} + b^{3} + 6 ab = 8$. $a + b$ có thể bằng những giá trị nào?

$a ) a , b , c$ đôi một khác nhau, $abc \ne 0 , a \left(a - b\right) = b \left(b - c\right) = c \left(c - a\right)$. Tính $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$. $b ) a , b , c$ nguyên dương, $a + b = b \left(a - c\right) , c + 1 = p^{2} , p$ nguyên tố. Chứng minh $a + b$ hoặc $ab$ chính phương.

Giải nghiệm nguyên $2^{a} + 8 b^{2} - 3^{c} = 283$.

$ABC$ cân $A , BD$ phân giác $B , AH$ đường cao, $AH = \frac{BD}{2}$. Tính $BAC$.

$ABCD$ tứ giác lồi, $M , N$ trung điểm $BC , AD , P = AM \cap BN , Q = DM \cap CN$. Chứng minh $S_{PAB} + S_{QCD} = S_{MPNQ}$.

Cho biến đổi $BBA$↔$A , ABA$↔$B$ trên chuỗi $A , B$. Có thể đổi $B A^{2019}$ thành $A^{2019} B$ không? Giải thích.