AMC 10C năm 2021

Giá trị của biểu thức sau là gì?

$$
\dfrac{(2112-2021)^2}{169}
$$

Menkara có thẻ chỉ mục $4 \times 6$. Nếu cô ấy rút ngắn chiều dài một cạnh của tấm thẻ này đi $1$ inch thì tấm thẻ sẽ có diện tích $18$ inch vuông. diện tích của thẻ sẽ tính bằng inch vuông nếu thay vào đó cô ấy rút ngắn chiều dài của mặt kia đi $1$ inch?

Số quả bóng đất sét có bán kính $2$ tối đa có thể nằm gọn trong một khối lập phương có cạnh dài $6$ là bao nhiêu với giả định rằng các quả bóng có thể được định hình lại nhưng không bị nén trước khi chúng được đóng gói trong khối đó?

Ông Lopez có phương án gồm hai tuyến đường để đi làm. Tuyến đường A dài $6$ dặm và tốc độ trung bình của anh ấy dọc theo tuyến đường này là $30$ dặm một giờ. Tuyến đường B dài $5$ dặm và tốc độ trung bình của anh ấy dọc theo tuyến đường này là $40$ dặm một giờ, ngoại trừ đoạn $\dfrac{1}{2}$-dặm trong khu vực trường học nơi tốc độ trung bình của anh ấy là $20$ dặm một giờ. Tuyến B nhanh hơn Tuyến A bao nhiêu phút?

Số có sáu chữ số $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{2}\,\underline{1}\,\underline{0}\,\underline{A}$ chỉ là số nguyên tố có một chữ số $A.$ $A?$ là gì

Emu Elmer thực hiện $44$ những bước dài bằng nhau để đi giữa các cột điện thoại liên tiếp trên một con đường nông thôn. Đà điểu Oscar có thể vượt qua khoảng cách tương tự trong $12$ bước nhảy bằng nhau. Các cột điện thoại cách đều nhau và cột thứ $41$dọc theo con đường này cách cột đầu tiên đúng một dặm ($5280$ feet). Tính theo feet, bước nhảy của Oscar dài hơn sải chân của Elmer bao nhiêu?

Như thể hiện trong hình bên dưới, điểm $E$ nằm trong nửa mặt phẳng đối diện được xác định bởi đường thẳng $CD$ từ điểm $A$ sao cho $\angle CDE = 110^\circ.$ Điểm $F$ nằm trên $\overline{AD}$ sao cho $DE=DF,$ và $ABCD$ là một hình vuông. Thước đo độ của $\angle AFE?$ là gì

Một số nguyên dương có hai chữ số được gọi là *dễ thương* nếu nó bằng tổng của các giá trị khác 0 chữ số hàng chục và bình phương của chữ số hàng đơn vị của nó. Có bao nhiêu số nguyên dương có hai chữ số dễ thương?

Khi một con súc sắc không công bằng nhất định được tung ra, một số chẵn có khả năng xuất hiện dưới dạng số lẻ gấp $3$ lần. Xúc xắc được lăn hai lần. xác suất mà tổng các số được tung ra là số chẵn là bao nhiêu?

Một trường học có $100$ học sinh và $5$ giáo viên. Trong tiết đầu tiên, mỗi học sinh học một lớp, mỗi giáo viên dạy một lớp. Số lượng ghi danh vào các lớp là $50,$ $20,$ $20,$ $5,$ và $5.$ Đặt $t$ là giá trị trung bình thu được nếu một giáo viên được chọn ngẫu nhiên và số lượng học sinh trong lớp của họ được ghi lại. Đặt $s$ là giá trị trung bình thu được nếu một học sinh được chọn ngẫu nhiên và số học sinh trong lớp của họ, bao gồm cả học sinh đó, được ghi lại. $t-s?$ là gì

Emily nhìn thấy một con tàu đang di chuyển với tốc độ không đổi dọc theo một đoạn sông thẳng. Cô ấy đi song song với bờ sông với tốc độ đều nhanh hơn con tàu. Cô đếm $210$ số bước bằng nhau khi đi từ phía sau tàu ra phía trước. Đi theo hướng ngược lại, cô đếm $42$ bước có cùng kích thước từ đầu tàu ra phía sau. Xét số bước bằng nhau của Emily thì chiều dài của con tàu là bao nhiêu?

Biểu diễn cơ số chín của số $N$ là $27{,}006{,}000{,}052_9.$ số dư là gì khi $N$ được chia cho $5?$

Mỗi quả bóng $6$ được sơn ngẫu nhiên và độc lập màu đen hoặc trắng với xác suất bằng nhau. xác suất mà mỗi quả bóng có màu khác với hơn một nửa số quả bóng $5$ khác là gì?

Có bao nhiêu cặp số thực có thứ tự $(x,y)$ thỏa mãn hệ phương trình sau đây? $$
\begin{aligned} x^2+3y&=9, \\ (|x|+|y|-4)^2&=1. \end{aligned}
$$

tam giác cân $ABC$ có $AB = AC = 3\sqrt6,$ và một đường tròn có bán kính $5\sqrt2$ tiếp xúc với đường thẳng $AB$ tại $B$ và đường tròn $AC$ tại $C.$ diện tích của đường tròn đi qua các đỉnh $A,$ $B,$ và $C?$

Hãy xem xét chức năng

$$
f(x) = |\lfloor x \rfloor| - |\lfloor 1 - x \rfloor|
$$

Đồ thị của nó đối xứng với điểm nào sau đây? (Ở đây $\lfloor x \rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x.$)

Một kiến trúc sư đang xây dựng một cấu trúc sẽ đặt các cột thẳng đứng ở các đỉnh của hình lục giác đều $ABCDEF,$ nằm ngang trên mặt đất. Sáu cây cột sẽ đỡ một tấm pin mặt trời phẳng không song song với mặt đất. Chiều cao của các cột tại $A,$ $B,$ và $C$ lần lượt là $12,$ $9,$ và $10$ mét. Chiều cao tính bằng mét của cây cột tại $E?$ là bao nhiêu

Cánh đồng hình chữ nhật của một người nông dân được phân chia thành lưới $2$ theo $2$ gồm các phần hình chữ nhật $4$ như trong hình. Trong mỗi khu vực, người nông dân sẽ trồng một loại cây trồng: ngô, lúa mì, đậu nành hoặc khoai tây. Người nông dân không muốn trồng ngô và lúa mì ở bất kỳ hai khu vực nào có chung đường biên giới, và người nông dân không muốn trồng đậu nành và khoai tây ở bất kỳ hai khu vực nào có chung đường biên giới. Với những hạn chế này, người nông dân có thể chọn bao nhiêu cách chọn cây trồng để trồng trên mỗi phần trong số bốn phần của cánh đồng?

Một đĩa có bán kính $1$ lăn một vòng bên trong một hình vuông có cạnh dài $s > 4$ và quét ra một vùng có diện tích $A.$ Đĩa thứ hai có bán kính class="notranslate">$1$ cuộn quanh bên ngoài của cùng một hình vuông và quét ra một vùng diện tích $2A.$ Giá trị của $s$ có thể được viết là class="notranslate">$a+\dfrac{b\pi}{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên dương và $b$ và class="notranslate">$c$ tương đối nguyên tố. $a+b+c?$ là gì

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương có thứ tự $(b,c)$ mà cả $x^2+bx+c=0$ và $x^2+cx+b=0$ đều không có hai nghiệm thực phân biệt?