VTMO 2021 — Lớp 7 — Cúp Titan

$k = 1 , k = 2 , k = 3$ nguyên dương, tổng $2021$. $| x = 1 - x = 2 \frac{|}{k} = 1 = | x = 2 - x = 3 \frac{|}{k} = 2 = | x = 3 - x = 1 \frac{|}{k} = 3$. Tính $T = \left(x = 1 + x = 2 - 2 x = 3\right)^{2021}$.

Tìm mọi nguyên dương $\left(a , b\right) , 1 \lt a \le b$, sao cho $ab - 1$ chia hết $\left(a - 1\right) \left(b - 1\right)$.

$a$) Xếp $1 , \ldots , 100$ thành hàng sao cho hai số kề $a , b$ thỏa $| a - b | = 2$ hoặc $\frac{a}{b} = 2$ hoặc $\frac{b}{a} = 2$ được không? $b$) Cùng điều kiện, xếp trên vòng tròn được không?

Cho $6$ số vô tỉ. Chứng minh chọn được $3$ số $a , b , c$ sao cho $a + b , b + c , c + a$ đều vô tỉ.

$a ) ABC$ nhọn, $AM$ trung tuyến, $M \in BC$; $BE$ đường cao, $E \in AC$; $K = AM \cap BE , MAC = 30 ^{\circ}$. Chứng minh $AC = \sqrt{3} BK$. $b ) ABC$ nhọn, $C = 45 ^{\circ} , AB \lt AC , AH$ đường cao, $H \in BC$; $BD$ phân giác, $D \in AC$. Trung trực $BC$ cắt $AC$ tại $K , BD \cap AH = I$. $KA = KD$. Chứng minh $AIB$ cân.