VTMO 2014 — Lớp 7 — Chung kết

$a + b + c = 3 , ab + bc + ca = 1 , abc = - 1$. Chứng minh trong $a , b , c$ có đúng một số bằng $1$.

Vy đi $V$→$B$ trên đường có bằng, lên và xuống dốc với vận tốc tương ứng $5 , 4 , 6 \frac{\,\mathrm{km}}{h}$, mất $1$ giờ $36$ phút; chiều về $1$ giờ $39$ phút. Đường bằng $2.5$ km. Tính $VB$ theo đường đi.

Chứng minh $S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}} + \frac{3}{2^{3}} + \ldots + \frac{2014}{2^{2014}} \lt 2$.

$ABC$ vuông $A$; Bx là phân giác góc $B$. $C$ hạ vuông góc Bx tại $D$; $M$ trung điểm $AC , DM$ cắt $BC$ tại $N$. $a$) Chứng minh $DAC$ cân. $b ) N$ trung điểm $BC$. $c ) BD = AC$, tính $\angle ABC$.

Học sinh đứng vòng tròn. Phát kẹo theo thứ tự $1 , 2 , 3 , \ldots$ tăng một viên mỗi bạn, kể cả sang vòng sau. Vòng $2$ nhiều hơn vòng $1$ đúng $100$ viên. Có bao nhiêu học sinh?