IMSO 2013 — Toán — Trả lời ngắn

Cắt các mảnh hình vuông cạnh $0.5$ cm từ một tờ giấy dài $11$ cm và rộng $2$ cm. Có thể cắt được tất cả bao nhiêu hình vuông?

Quan sát quy luật sau: $$\frac1{1\times2}=\frac12,\quad \frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}=\frac23,\quad \frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\frac1{3\times4}=\frac34.$$ Biết rằng $$\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\frac1{3\times4}+\cdots+\frac1{2013\times2014}=\frac{a+2}{a+3},$$ trong đó $a$ là số nguyên dương. Tìm giá trị của $a$.

Ba mươi bạn nữ tham gia một cuộc thi toán. Bạn thứ nhất được 70 điểm và bạn thứ hai được 80 điểm. Giáo viên thông báo rằng điểm của mỗi bạn sau hai bạn đầu bằng trung bình cộng điểm của tất cả các bạn trước đó. Bạn nữ cuối cùng được bao nhiêu điểm?

Năm bạn nam A, B, C, D và E dự một buổi họp. Trong buổi họp này,

a. A bắt tay với một bạn.

b. B bắt tay với hai bạn.

c. C bắt tay với ba bạn.

d. D bắt tay với bốn bạn.

E đã bắt tay với bao nhiêu bạn?

Tính giá trị rút gọn của $$2\times1\frac12+3\times1\frac13+4\times1\frac14+5\times1\frac15+6\times1\frac16+7\times1\frac17+8\times1\frac18+9\times1\frac19?$$

Tổng các chữ số của số có hai chữ số $\overline{ab}$ là $6$. Đổi chỗ hai chữ số được số có hai chữ số $\overline{ba}$. Nếu $\overline{ab}-\overline{ba}=18$, hãy tìm số ban đầu.

Trong hình dưới, hình vuông lớn nhất có cạnh dài $10$ cm. Nếu tổng diện tích các miền tô màu tạo bởi hai đường chéo trong đường tròn và hai hình vuông nhỏ hơn bằng $26$ cm², cạnh của hình vuông nhỏ nhất dài bao nhiêu xentimét?

Tích của $1110$, $1111$, $1112$ và $1113$ là số có mười ba chữ số $\overline{152628x755760}$, trong đó một chữ số được thay bằng $x$. Tìm giá trị của $x$.

Mỗi người A, B, C và D hoặc luôn nói thật hoặc luôn nói dối. A nói C luôn nói dối, B nói A luôn nói dối, C nói D luôn nói thật, còn D nói A hoặc C luôn nói dối. Ai là người luôn nói dối?

Trong hình dưới, mỗi góc trong của lục giác $PQRSTU$ đều bằng $120^\circ$. Biết $PQ=1$ cm, $QR=RS=4$ cm và $ST=3$ cm. Tính chu vi lục giác $PQRSTU$, theo xentimét.

Trong hình dưới, $PQRSTU$ là lục giác đều có cạnh dài $2$ cm. Đa giác $ABCDEFGHIJKL$ được tạo bằng cách vẽ các tam giác đều cạnh $4$ cm từ các cạnh của lục giác. Tính $\frac{\text{diện tích }ABCDEFGHIJKL}{\text{diện tích }PQRSTU}$ (tỉ số diện tích hai hình).

Chín đường thẳng song song với đáy của một tam giác chia mỗi cạnh còn lại thành 10 đoạn bằng nhau và chia diện tích thành 10 phần riêng biệt. Tính diện tích tam giác ban đầu, theo cm², biết phần lớn nhất có diện tích 76 cm².

Ngày tháng của ba ngày Chủ nhật trong một tháng đều là số chẵn. Ngày 28 của tháng đó là thứ mấy?

Công ty Coco có một số ô tô đang hoạt động. Thuế cho chiếc đầu tiên là 2000 đô-la; thuế cho chiếc thứ hai cao hơn 5%, chiếc thứ ba cao hơn 10%, và mỗi chiếc còn lại cao hơn 15% so với thuế chiếc đầu tiên. Công ty trả tổng cộng 15500 đô-la tiền thuế cho tất cả ô tô. Công ty có bao nhiêu chiếc ô tô?

Có 1500 chấm đỏ và 513 chấm trắng trên một đường tròn. Trong mỗi khoảng giữa hai chấm liên tiếp trên đường tròn, viết số 1 nếu cả hai chấm đỏ, số −1 nếu cả hai chấm trắng, và số 0 nếu hai chấm khác màu. Tổng của 2013 số đã viết trên đường tròn bằng bao nhiêu?

Một máy cắt giấy có thể cắt một chồng tối đa 500 tờ trong một lần thao tác. Không gấp bất kỳ tờ giấy nào. Bắt đầu từ một tờ, cần ít nhất bao nhiêu lần cắt để thu được 2013 tờ giấy?

Thứ hai, Austin giữ lại một nửa số bò của mình và chia đều nửa còn lại cho Dustin và Justin. Thứ ba, Dustin giữ lại một nửa số bò của mình và chia đều nửa còn lại cho Justin và Austin. Thứ tư, Justin giữ lại một nửa số bò của mình và chia đều nửa còn lại cho Austin và Dustin. Lúc này mỗi người có 8 con bò. Ban đầu Dustin có bao nhiêu con bò?

Trong bảng $4\times4$, mỗi ô có một kí hiệu: $\circ$, $\bullet$, $\triangle$ hoặc $\triangledown$. Mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo dài đều có đúng một kí hiệu thuộc mỗi loại. Bốn kí hiệu đã được điền như hình. Cần điền kí hiệu nào vào ô có dấu hỏi?

Trong hình dưới, $AB=5$ cm, $AC=12$ cm, $DB=1$ cm, $ED=4$ cm và $CE=8$ cm. Góc $\angle EAD$ bằng bao nhiêu độ?

Tìm bội nhỏ nhất của 9 không chia hết cho tổng các chữ số của nó.