Câu hỏi 1
Trong một tứ giác lồi có diện tích $32\,\mathrm{cm}^2$, tổng độ dài của hai cạnh không kề nhau và một đường chéo bằng $16\,\mathrm{cm}$. Đường chéo còn lại dài bao nhiêu?
IMO 1976 — Đề thi chính thức
Câu hỏi 2
Cho $P_1(x)=x^2-2$, $P_j(x)=P_1(P_{j-1}(x))$, $j=2,3,\ldots$. Chứng minh rằng với $n$ bất kỳ, các nghiệm của phương trình $P_n(x)=x$ đều thực và đôi một khác nhau.
Câu hỏi 3
Một hộp chữ nhật có thể được lấp đầy hoàn toàn bằng các khối lập phương đơn vị. Nếu đặt vào hộp các khối lập phương có thể tích $2$ sao cho các cạnh của chúng song song với các cạnh của hộp thì có thể lấp đầy đúng $40\%$ hộp. Xác định tất cả các kích thước (bên trong) có thể có của hộp.
Câu hỏi 4
Tìm số lớn nhất có thể thu được dưới dạng tích các số nguyên dương có tổng bằng $1976$.
Câu hỏi 5
Cho hệ gồm $p$ phương trình
$$\begin{aligned}a_{11}x_1+\cdots+a_{1q}x_q&=0,\\a_{21}x_1+\cdots+a_{2q}x_q&=0,\\&\vdots\\a_{p1}x_1+\cdots+a_{pq}x_q&=0,\end{aligned}$$
có các hệ số $a_{ij}$ thỏa mãn $a_{ij}=-1,0$ hoặc $+1$ với mọi $i=1,\ldots,p$ và $j=1,\ldots,q$. Chứng minh rằng nếu $q=2p$ thì hệ có một nghiệm $x_1,\ldots,x_q$ sao cho mọi $x_j$ ($j=1,\ldots,q$) là số nguyên thỏa mãn $|x_j|\le q$ và $x_j\ne0$ với ít nhất một chỉ số $j$.
$$\begin{aligned}a_{11}x_1+\cdots+a_{1q}x_q&=0,\\a_{21}x_1+\cdots+a_{2q}x_q&=0,\\&\vdots\\a_{p1}x_1+\cdots+a_{pq}x_q&=0,\end{aligned}$$
có các hệ số $a_{ij}$ thỏa mãn $a_{ij}=-1,0$ hoặc $+1$ với mọi $i=1,\ldots,p$ và $j=1,\ldots,q$. Chứng minh rằng nếu $q=2p$ thì hệ có một nghiệm $x_1,\ldots,x_q$ sao cho mọi $x_j$ ($j=1,\ldots,q$) là số nguyên thỏa mãn $|x_j|\le q$ và $x_j\ne0$ với ít nhất một chỉ số $j$.
Câu hỏi 6
Với mọi số nguyên dương $n$, $u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1$, $u_0=2$ và $u_1=2\frac12$. Chứng minh rằng
$$3\log_2[u_n]=2^n-(-1)^n,$$
trong đó $[x]$ là phần nguyên của $x$.
$$3\log_2[u_n]=2^n-(-1)^n,$$
trong đó $[x]$ là phần nguyên của $x$.