Cho $x_1\ge x_2\ge\cdots\ge x_n$ và $y_1\ge y_2\ge\cdots\ge y_n$ là hai bộ $n$ số. Chứng minh rằng
$$\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\le\sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2$$
khi $z_1,z_2,\ldots,z_n$ là các số $y_1,y_2,\ldots,y_n$ được sắp xếp theo một thứ tự khác.
Cho $a_1,a_2,a_3,\ldots$ là một dãy vô hạn tùy ý các số nguyên dương tăng nghiêm ngặt. (Với mọi số nguyên $i\gt 0$, $a_{i+1}\gt a_i$.) Chứng minh rằng có vô hạn chỉ số $m$ mà ta tìm được các số nguyên dương $x,y,h,k$ sao cho $0\lt h\lt k\lt m$ và $a_m=xa_h+ya_k$.
Trên các cạnh của tam giác tùy ý $ABC$, dựng ra phía ngoài các tam giác $BPC$, $CQA$ và $ARB$ sao cho
$$\angle PBC=\angle CAQ=45^\circ,$$
$$\angle BCP=\angle QCA=30^\circ,$$
$$\angle ABR=\angle BAR=15^\circ.$$
Chứng minh rằng $\angle QRP=90^\circ$ và $QR=RP$.
Có thể đặt 1975 điểm trên một đường tròn bán kính 1 sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ là số hữu tỉ hay không (khoảng cách phải được đo theo dây cung)?
Hàm $f(x,y)$ là một đa thức thuần nhất bậc $n$ theo $x$ và $y$. Nếu $f(1,0)=1$ và với mọi $a,b,c$,
$$f(a+b,c)+f(b+c,a)+f(c+a,b)=0,$$
hãy chứng minh rằng $f(x,y)=(x-2y)(x+y)^{n-1}$.