AMC 10B năm 2012

Mỗi lớp học lớp ba tại Trường tiểu học Pearl Creek có $18$ học sinh và $2$ thỏ cưng. Có bao nhiêu học sinh nhiều hơn số thỏ trong tất cả $4$ của các lớp học lớp ba?

Một hình tròn bán kính $5$ nội tiếp trong hình chữ nhật như hình vẽ. Tỷ lệ giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là $2:1.$ diện tích của hình chữ nhật là bao nhiêu?

Điểm trong mặt phẳng $xy$ có tọa độ $(1000, 2012)$ được phản ánh qua đường $y=2000.$ Tọa độ của điểm phản ánh là gì?

Khi Ringo đặt những viên bi của mình vào túi với $6$ viên bi mỗi túi, anh ấy còn lại $4$ viên bi. Khi Paul làm tương tự với những viên bi của mình, anh ấy còn lại $3$ những viên bi. Ringo và Paul gộp các viên bi của họ lại và đặt chúng vào càng nhiều túi càng tốt, với $6$ viên bi trên mỗi túi. Hỏi sẽ còn lại bao nhiêu viên bi?

Anna thưởng thức bữa tối tại một nhà hàng ở Washington, D.C., nơi thuế bán hàng cho bữa ăn là $10\%.$ Cô để lại tiền boa $15\%$ trên giá bữa ăn của mình trước khi thêm thuế bán hàng và thuế được tính trên số tiền trả trước. Cô ấy chi tổng cộng $\$27.50$ cho bữa tối. Chi phí bữa tối của cô ấy không bao gồm thuế hay tiền boa là bao nhiêu?

Để ước tính giá trị của $x-y$ trong đó $x$ và $y$ là các số thực với $x > y > 0,$ Xiaoli đã làm tròn $x$ lên một lượng nhỏ, làm tròn $y$ xuống cùng một lượng rồi trừ đi các giá trị được làm tròn của cô ấy.

Phát biểu nào sau đây nhất thiết đúng?

Trong một dự án khoa học, Sammy đã quan sát một con sóc chuột và một con sóc đang nhét những quả đấu vào các lỗ. Con sóc chuột giấu những quả sồi $3$ trong mỗi cái hố mà nó đào. Con sóc giấu $4$ quả sồi trong mỗi cái hố mà nó đào. Mỗi người đều giấu số lượng quả sồi như nhau, mặc dù con sóc cần ít $4$ lỗ hơn. Sóc chuột đã giấu bao nhiêu quả sồi?

Tổng của tất cả các nghiệm nguyên của bất đẳng thức sau là bao nhiêu? $$
1 < (x-2)^2 < 25
$$

Hai số nguyên có tổng là $26.$ Khi thêm hai số nguyên nữa vào hai số nguyên đầu tiên, tổng là $41.$ Cuối cùng, khi thêm hai số nguyên nữa vào tổng của bốn số nguyên trước đó thì tổng là $57.$ Số lượng số nguyên chẵn tối thiểu trong số $6$ là bao nhiêu?

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương theo thứ tự $(M,N)$ thỏa mãn phương trình $$
\frac{M}{6}=\frac{6}{N}
$$

Một đầu bếp món tráng miệng chuẩn bị món tráng miệng cho mọi ngày trong tuần bắt đầu từ Chủ Nhật. Món tráng miệng mỗi ngày là bánh ngọt, bánh nướng, kem hoặc bánh pudding. Món tráng miệng giống nhau không được phục vụ trong hai ngày liên tiếp. Phải có bánh vào thứ Sáu vì là sinh nhật. Có thể thực hiện được bao nhiêu thực đơn tráng miệng khác nhau trong tuần?

Điểm $B$ nằm ở phía đông của điểm $A.$ Điểm $C$ nằm ở phía bắc của điểm $B.$ Khoảng cách giữa các điểm $A$ và $C$ là $10\sqrt 2$ mét và $\angle BAC = 45^\circ.$ Điểm $D$ là $20$ mét về phía bắc của điểm $C.$ Khoảng cách $AD$ nằm giữa hai số nguyên nào?

Clea mất $60$ giây để đi xuống thang cuốn khi thang cuốn không hoạt động và chỉ $24$ giây để đi xuống thang cuốn khi thang cuốn đang hoạt động. Clea mất bao nhiêu giây để đi xuống thang cuốn đang vận hành khi cô ấy chỉ đứng trên đó?

Hai tam giác đều nằm trong một hình vuông có độ dài cạnh là $2\sqrt 3.$ Hai đáy của các tam giác này là các cạnh đối diện của hình vuông và giao điểm của chúng là hình thoi. diện tích của hình thoi là gì?

Trong giải đấu vòng tròn với các đội $6$, mỗi đội chơi một trận với đội khác và mỗi trận đấu dẫn đến một đội thắng và một đội thua. Kết thúc giải đấu, các đội được xếp hạng theo số trận thắng. Số đội tối đa có thể hòa để giành được nhiều trận thắng nhất khi kết thúc giải đấu là bao nhiêu?

Ba đường tròn có bán kính $2$ tiếp xúc với nhau. Tổng diện tích của các vòng tròn và vùng được giới hạn bởi chúng, như trong hình là bao nhiêu?

Jesse cắt một đĩa giấy hình tròn có bán kính $12$ dọc theo hai bán kính để tạo thành hai cung, phần nhỏ hơn có góc ở tâm là $120$ độ. Anh ấy tạo ra hai hình nón tròn, sử dụng mỗi phần để tạo thành bề mặt bên của hình nón. Tỷ lệ thể tích của hình nón nhỏ hơn so với hình nón lớn hơn là bao nhiêu?

Giả sử rằng một trong số $500$ người trong một quần thể nhất định mắc một căn bệnh cụ thể không có triệu chứng. Xét nghiệm máu có sẵn để sàng lọc bệnh này. Đối với người mắc bệnh này, xét nghiệm luôn cho kết quả dương tính.

Tuy nhiên, đối với một người không mắc bệnh, có tỷ lệ dương tính giả $2\%$. Nói cách khác, đối với những người như vậy, $98\%$ tại thời điểm xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính, nhưng $2\%$ tại thời điểm xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính và sẽ chỉ ra không chính xác rằng người đó mắc bệnh.

Đặt $p$ là xác suất mà một người được chọn ngẫu nhiên từ quần thể này và nhận được kết quả xét nghiệm dương tính thực sự mắc bệnh. Điều nào sau đây gần nhất với $p?$

Trong hình chữ nhật $ABCD,$ $AB=6,$ $AD=30,$ và $G$ là trung điểm của $\overline{AD}.$ Đoạn $AB$ được mở rộng $2$ đơn vị ngoài $B$ đến điểm $E,$ và $F$ là giao điểm của $\overline{ED}$ và $\overline{BC}.$ diện tích của tứ giác $BFDG?$ là gì

Bernardo và Silvia chơi trò chơi sau. Một số nguyên nằm trong khoảng từ $0$ đến $999$ được chọn và trao cho Bernardo. Bất cứ khi nào Bernardo nhận được một con số, anh ấy sẽ nhân đôi nó và chuyển kết quả cho Silvia. Bất cứ khi nào Silvia nhận được một số, cô ấy thêm $50$ vào đó và chuyển kết quả cho Bernardo. Người chiến thắng là người cuối cùng tạo ra số nhỏ hơn $1000.$

Đặt $N$ là số ban đầu nhỏ nhất mang lại chiến thắng cho Bernardo. Tổng các chữ số của $N?$ là bao nhiêu