IMO 1969 — Đề thi chính thức

Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên $a$ có tính chất sau: số $z=n^4+a$ không phải là số nguyên tố với mọi số tự nhiên $n$.

Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các hằng số thực và
$$y(x)=\cos(a_1+x)+\frac{\cos(a_2+x)}2+\frac{\cos(a_3+x)}{2^2}+\cdots+\frac{\cos(a_n+x)}{2^{n-1}}.$$
Nếu $x_1,x_2$ là các số thực và $y(x_1)=y(x_2)=0$, chứng minh rằng $x_1-x_2=m\pi$ với một số nguyên $m$.

Tìm điều kiện của số thực dương $a$ để tồn tại một tứ diện có $k$ cạnh $(k=1,2,3,4,5)$ dài $a$, còn $6-k$ cạnh kia dài $1$.

Cho $AB$ là đường kính của đường tròn $\gamma$. Điểm $C$ khác $A$ và $B$ nằm trên đường tròn $\gamma$. Gọi $D$ là hình chiếu của điểm $C$ lên đường thẳng $AB$. Xét ba đường tròn khác $\gamma_1$, $\gamma_2$ và $\gamma_3$ có tiếp tuyến chung $AB$: $\gamma_1$ nội tiếp tam giác $ABC$, còn $\gamma_2$ và $\gamma_3$ tiếp xúc với cả (đoạn thẳng) $CD$ và $\gamma$. Chứng minh rằng $\gamma_1$, $\gamma_2$ và $\gamma_3$ có hai tiếp tuyến chung.

Cho $n$ điểm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất $\binom{n-3}{2}$ tứ giác lồi có các đỉnh thuộc tập điểm này.

Với các điều kiện $x_1,x_2>0$, $x_1y_1>z_1^2$ và $x_2y_2>z_2^2$, chứng minh bất đẳng thức
$$\frac8{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}.$$