IMAS 2023–2024 — Tiểu học cơ sở — Vòng 2

Trong một cuốn danh mục mua sắm, bìa là trang 1. Betty rút một tờ ra và thấy trang 9 và trang 24 nằm trên cùng tờ giấy. Cuốn danh mục có bao nhiêu trang?

Alex, Ben và Carl, mỗi bạn viết ra 120 số từ 1 đến 500. Nếu một số xuất hiện trong nhiều hơn một danh sách, số đó bị xóa khỏi tất cả các danh sách. Cuối cùng Alex còn 81 số và Ben còn 70 số. Hiệu dương giữa số lượng số lớn nhất và nhỏ nhất có thể còn lại trong danh sách của Carl là bao nhiêu?

Alice sống tại căn hộ 624 trong tòa nhà thứ bảy của một khu chung cư. Mỗi tòa có 18 tầng và mỗi tầng có cùng số căn hộ. Các căn hộ được đánh số từ 1 ở tầng một của tòa thứ nhất, lần lượt từ dưới lên trên hết một tòa rồi mới sang tòa tiếp theo. Alice sống ở tầng nào?

Trong một bộ lạc biệt lập, 15% nam giới và 35% nữ giới đã kết hôn. Bộ lạc chỉ cho phép hôn nhân giữa một nam và một nữ, và vợ hoặc chồng của những người đã kết hôn đều còn sống. Bao nhiêu phần trăm dân số bộ lạc đã kết hôn?

Alice và Bruce đi hai chuyến tàu khác nhau từ cùng một ga. Tàu của Alice chạy với vận tốc không đổi 90 km/giờ, tàu của Bruce chạy với vận tốc không đổi 72 km/giờ. Tàu của Alice khởi hành sau tàu của Bruce 20 phút. Tại một thời điểm, tàu của Bruce đã đi nhiều hơn tàu của Alice 15 km. Khi ấy tàu của Bruce đã đi tổng cộng bao nhiêu ki-lô-mét? (Giả sử vận tốc không thay đổi kể cả khi tàu rời ga.)

Một công viên hình vuông $ABCD$ có một nhà nghỉ tại điểm $P$ như hình. Tam giác $PAD$ là hồ nước có diện tích bằng một phần ba diện tích công viên. Tam giác $PBC$ là khu vui chơi trẻ em, diện tích 2024 m². Diện tích công viên bằng bao nhiêu mét vuông? (Coi diện tích nhà nghỉ bằng 0.)

Để làm 32 khối thạch hình hộp chữ nhật giống nhau, cần 6400 cm² bìa làm hộp và 8000 cm³ thạch để đổ đầy 32 hộp. Nay muốn làm hộp lớn bằng cách gấp đôi mỗi kích thước của hộp. Nếu có 12800 cm² bìa và 16000 cm³ thạch, có thể làm nhiều nhất bao nhiêu hộp thạch lớn?

Joe in một bức tranh trên tấm bìa kích thước 35 cm và 49 cm. Giữ nguyên vị trí tấm bìa, cậu cắt nó thành 500 mảnh để làm trò ghép hình. Nếu tổng chiều dài các đường cắt bên trong tấm bìa là 2116 cm, chu vi trung bình của mỗi mảnh là bao nhiêu xăng-ti-mét?

Peter vẽ một số đường thẳng trên bảng $4\times4$ sao cho với mỗi ô vuông, có ít nhất một đường đi qua một điểm bên trong ô. Peter cần vẽ ít nhất bao nhiêu đường thẳng?

Sam liệt kê theo thứ tự tăng dần tất cả các số có bốn chữ số mà tích các chữ số bằng 0. Tích các chữ số của 2024 là $2\times0\times2\times4=0$, nên 2024 có trong danh sách. Số 2024 đứng ở vị trí thứ mấy?

Có một hàng đèn. Cứ sau 10 giây, một đèn được chỉ định là đèn “đang xét” sẽ đổi trạng thái: tắt thành bật, bật thành tắt. Sau đó đèn tiếp theo trở thành đèn đang xét. Sau đèn cuối cùng thì quay lại đèn đầu tiên. Ví dụ, với ba đèn, đèn thứ nhất và thứ ba bật, đèn thứ hai tắt, và bắt đầu xét đèn thứ nhất: sau 10 giây đèn thứ nhất tắt, sau 10 giây nữa đèn thứ hai bật, cứ tiếp tục như vậy. Hình minh họa dưới đây dùng hình tròn trắng cho đèn bật và hình tròn đen cho đèn tắt.



Nay có một hàng 10 đèn. Ban đầu xét đèn thứ nhất, và các đèn có trạng thái



Sau 2024 giây có bao nhiêu đèn bật?

Một đoàn nghệ thuật lên kế hoạch biểu diễn cho tháng tới. Không có buổi diễn vào thứ Hai hoặc thứ Ba và không có ba ngày liên tiếp đều không biểu diễn. Nếu tháng tới có 31 ngày, đoàn có thể biểu diễn ít nhất bao nhiêu buổi?

Một rô-bốt ở trong một ô đơn vị của bảng. Khi di chuyển trên bảng, rô-bốt không được đi chéo. Ví dụ, trong hình dưới, $R$ là vị trí xuất phát và rô-bốt cần đi 5 bước qua các ô để đến ô ghi $G$.



Trong bảng tiếp theo có 12 ô (ghi $R$) mà nếu xuất phát từ đó thì rô-bốt cần không quá 5 bước để đến từng ô trong hai ô tô đậm.



Bảng cuối có 6 ô tô đậm. Có bao nhiêu ô không tô đậm mà từ đó rô-bốt có thể đến ít nhất hai ô tô đậm, mỗi ô bằng không quá 4 bước?

Cho tam giác vuông $ABC$ như hình, với $\angle ACB=90^\circ$ và $AC \lt BC \lt AB$. Roger muốn ghép thêm một tam giác để tạo thành một tam giác cân, sao cho hai tam giác không chồng lên nhau dù chỉ một phần. Roger có thể làm theo bao nhiêu cách khác nhau? Hãy vẽ các cách đó.

Warren có 11 đồng xu, gồm 2 đồng vàng và 9 đồng bạc. Warren xếp chúng thành một hàng, rồi chọn các đồng xu theo một trong các điều kiện sau:
(i) Chọn hai đồng bạc sao cho giữa chúng có đúng một đồng vàng.
(ii) Chọn một đồng vàng và một đồng bạc sao cho đồng vàng còn lại không nằm giữa hai đồng được chọn.
(iii) Chỉ chọn đúng một đồng vàng.
Vị trí khác nhau của hai đồng vàng có thể cho số cách chọn khác nhau. Warren có thể có nhiều nhất bao nhiêu cách chọn?