IMAS 2022–2023 — Tiểu học lớn — Vòng 2

Mỗi chữ số của một số có 2023 chữ số đều là 2. Khi chia số này cho 9, số dư là bao nhiêu?

Cho đến hết năm 2022, Alice và Bob mỗi người trả 13000 đô-la mỗi tháng cho căn hộ một phòng ngủ của mình. Từ năm 2023, tiền thuê của Alice tăng 100 đô-la mỗi tháng, còn tiền thuê của Bob tăng 500 đô-la vào mỗi tháng Một và tháng Bảy. Tính từ tháng Một năm 2023, đến tháng nào tổng tiền thuê Alice đã trả lần đầu vượt tổng tiền thuê Bob đã trả?

Một băng chuyền nối hai sân ga tàu điện ngầm. Nếu đứng yên trên băng chuyền, đi từ đầu này đến đầu kia mất 120 giây. Nếu đi bộ đều bình thường ở ngoài băng chuyền trên cùng quãng đường thì mất 180 giây. Hỏi mất bao nhiêu giây để đi hết băng chuyền nếu đi bộ trên đó cùng chiều chuyển động, với tốc độ đi bộ như khi ở ngoài?

Xét tất cả các số có bốn chữ số được tạo từ mỗi chữ số 0, 1, 2 và 3 đúng một lần. Có bao nhiêu số trong số đó không bắt đầu bằng 0 hoặc không kết thúc bằng 1?

Các số 90, 92, 94, 96 và 98 được viết trên năm thẻ. Một học sinh rút ngẫu nhiên một thẻ rồi viết ba số. Số thứ nhất được chọn tùy ý nhưng phải lớn hơn số trên thẻ. Số thứ hai bằng hiệu giữa số thứ nhất và số trên thẻ. Số thứ ba bằng tổng của số thứ nhất và số trên thẻ. Với số nào trên thẻ thì không thể viết được cả ba số nguyên tố?

Bốn bánh răng luôn ăn khớp với nhau. Bánh lớn nhất có 650 răng, bánh kế tiếp có 425 răng, bánh tiếp theo có 300 răng và bánh nhỏ nhất có 150 răng. Nếu bắt đầu quay bây giờ, bánh lớn nhất quay được bao nhiêu vòng khi cả bốn bánh lần đầu đồng thời trở lại vị trí ban đầu? (Hình dưới chỉ là ví dụ về một bộ bánh răng.)



Trả lời bằng số vòng.

Ba người vào chung kết một cuộc thi hát là Alice, Bob và Chris. Mỗi giám khảo bỏ phiếu cho đúng một người. Theo Dennis, có 59 giám khảo; 30 người bỏ phiếu cho Alice hoặc Bob, 13 người cho Bob hoặc Chris, và 10 người cho Chris hoặc Alice. Tuy nhiên, Dennis nhìn kém nên mỗi số trong bốn số anh ấy đưa ra có thể sai lệch tối đa 13. Chính xác có bao nhiêu giám khảo bỏ phiếu cho Alice?

Trên bia dưới đây, vùng giữa được 10 điểm, vành trong được 7 điểm, vành ngoài được 4 điểm. Một người tập ném trúng vùng giữa và vành trong cùng số lần, và cứ ba lần ném thì có một lần trượt bia. Biết số lần ném là bội của 3 và tổng điểm là 99, hỏi người ấy đã ném tổng cộng bao nhiêu lần?

Hình dưới đây có dạng viên kẹo:



Em tìm được bao nhiêu hình viên kẹo có cùng kích thước với hình trên trong lưới lớn dưới đây?

Năm con xúc xắc tiêu chuẩn xếp hình chữ thập dưới đây hoàn toàn giống nhau, kể cả hướng các chấm trên mỗi mặt. Tổng số chấm trên hai mặt đối diện luôn bằng 7. Các mặt tiếp xúc có cùng số chấm và các chấm trùng khít: mỗi chấm chạm đúng một chấm của con bên cạnh. Hãy vẽ các chấm với đúng vị trí và hướng trên mặt có dấu hỏi.



Mẫu để vẽ đáp án:

Chia hình dưới đây thành hai hình có cùng kích thước và hình dạng sau khi đối xứng và quay.

Anna chọn một số chữ số. Sau đó Bob chọn một số nguyên dương rồi nhân số ấy với 3. Anna thắng nếu ít nhất một chữ số cô chọn xuất hiện trong một trong hai số của Bob. Anna cần chọn ít nhất bao nhiêu chữ số để chắc chắn thắng dù Bob chọn số nào?

Trên sơ đồ dưới đây, Andy phải bắt đầu tại một trong bốn góc rồi đi theo các đoạn đường đến bốn hình tròn khác, tuân thủ các hướng dẫn:
- Mỗi đoạn đường được đi qua nhiều nhất một lần.
- Mỗi hình tròn chứa một viên sỏi. Andy phải nhặt viên sỏi khi đi vào hình tròn. Số trong hình tròn là khối lượng viên sỏi, tính bằng g.
- Andy không được đi qua nhiều hơn một góc.

Andy có bao nhiêu lộ trình khác nhau để thu được đúng 67 g sỏi?

Một bài kiểm tra Toán gồm 3 bài, mỗi bài được chấm độc lập bằng một số nguyên điểm từ 0 đến 10. Có bao nhiêu cách để tổng điểm của bài kiểm tra đúng bằng 21? Trình bày lời giải chi tiết.

Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $BC$ và $N$ là trung điểm của $AM$. Đường thẳng $BN$ kéo dài cắt $AC$ tại $K$ như hình dưới. Biết $KA=24$ cm, hỏi độ dài $AC$ bằng bao nhiêu xăng-ti-mét? Trình bày lời giải chi tiết.