IMAS 2022–2023 — Cấp Junior — Vòng 2

Biểu thức $12\times11\times10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1$ có tất cả bao nhiêu ước nguyên dương?

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=0$ và $abc=1$. Tính $a^3+b^3+c^3$.

Một cuốn sách gồm 213 bài toán từ 12 năm tổ chức cuộc thi. Ban đầu mỗi năm có 25 bài, sau đó mỗi năm có 16 bài và cuối cùng mỗi năm có 20 bài. Có bao nhiêu năm mà mỗi năm có 25 bài?

Một chiếc bánh pizza hình tròn được cắt bằng hai đường vuông góc, dài $16$ cm và $x+6$ cm như hình. Alice ăn hai phần màu trắng, Bob ăn hai phần tô xám. Ai ăn nhiều hơn và diện tích chênh lệch là bao nhiêu $\mathrm{cm}^2$?

Trong một lớp, số học sinh nữ chiếm hơn 40% nhưng dưới 45% tổng số học sinh. Nếu một học sinh nam rời lớp thì tỉ lệ nữ vẫn dưới 45%; nếu một học sinh nữ mới vào lớp thì tỉ lệ nữ vượt 45%. Số học sinh ít nhất có thể có trong lớp là bao nhiêu?

Hệ số của $x^2$ trong tích $(1-x)(1+2x)(1-2^2x)(1+2^3x)(1-2^4x)(1+2^5x)(1-2^6x)(1+2^7x)$ là bao nhiêu?

Diện tích toàn phần nhỏ nhất, tính bằng $\mathrm{cm}^2$, của một hình hộp chữ nhật có thể tích lớn hơn hẳn $1000\ \mathrm{cm}^3$ là bao nhiêu, biết mỗi kích thước tính bằng cm là số nguyên?

Cho $A$ và $B$ là hai tập con rời nhau, có cùng số phần tử, của $\{1,2,\ldots,100\}$; với mỗi $n$ thuộc $A$, số $2n+2$ thuộc $B$. Số phần tử lớn nhất của $A\cup B$ là bao nhiêu?

Ban đầu mỗi ô trong $36$ ô của bàn cờ $6\times6$ đều có một quân xe. Mỗi lượt được lấy đi một quân xe đang tấn công một số lẻ quân xe khác còn trên bàn cờ. Có thể lấy đi nhiều nhất bao nhiêu quân xe? (Chú ý: Quân xe di chuyển bao nhiêu ô tùy ý theo chiều ngang hoặc dọc.)

Tìm số nguyên lớn nhất $n$ sao cho $4^{27}+4^{100}+4^n$ là bình phương của một số nguyên.

Một rạp chiếu phim nhỏ có 30 ghế, số ghế được ghi trên vé. 21 người đến đầu tiên ngồi vào 21 ghế mà không để ý số ghế. Edmond là người đến thứ 21. Chín người còn lại đều muốn ngồi đúng ghế. Nếu một người thấy ghế ghi trên vé của mình đã có người ngồi, họ yêu cầu người đó chuyển chỗ; người bị yêu cầu lại tìm ghế đúng của mình và yêu cầu người đang ngồi ở đó chuyển đi, cứ thế tiếp tục. Việc đổi chỗ kết thúc khi có người tìm được ghế của mình còn trống. Tính xác suất, theo phần trăm, để Edmond không phải đổi chỗ. Chỉ nhập số phần trăm, không nhập dấu phần trăm.

Ba học sinh viết lên bảng ba số chính phương có hai chữ số, liền nhau. Sau đó các em nhận thấy số có sáu chữ số tạo thành cũng là số chính phương. Tìm tổng tất cả các số có sáu chữ số có thể nhận được.

Như hình, tam giác $ABC$ cân với $AB=AC$. Điểm $D$ là chân đường cao từ đỉnh $A$, còn $E$ nằm trên cạnh $AB$ sao cho $\angle ACE=\angle ECB=18^\circ$. Biết $AD=24$ cm, tìm độ dài $CE$, tính bằng cm.

Một bài kiểm tra Toán gồm 4 bài, mỗi bài được chấm độc lập bằng số điểm nguyên từ 0 đến 10. Có bao nhiêu cách để tổng điểm bài kiểm tra bằng đúng 31? Trình bày lời giải chi tiết.

Andy phải đi qua mê cung dưới lòng đất như hình. Mỗi ô vuông là một phòng. Andy có thể đi qua đoạn nét đứt để vào phòng kề bên. Nếu giữa hai phòng kề nhau không có đoạn thẳng thì có một cửa mở. Mỗi lần gieo xúc xắc, Andy đi từ 1 đến 6 phòng. Phép thuật khiến Andy rơi xuống một, hai hoặc ba hàng nếu kết thúc lượt đi ở phòng có cửa. Ví dụ, nếu gieo được 2 từ phòng S, Andy rơi xuống hàng thứ hai; nếu gieo được 2 từ phòng X, Andy rơi xuống hàng thứ ba.

Andy phải đi từ trái sang phải ở hàng lẻ và từ phải sang trái ở hàng chẵn. Ở cuối hàng, phép thuật buộc Andy đi xuống hàng tiếp theo. Ví dụ, nếu gieo được 5 từ phòng X, Andy vào hàng thứ hai ở bước thứ tư và rơi xuống hàng thứ ba ở bước thứ năm.



Khi đến phòng F, Andy dừng lại. Cần ít nhất bao nhiêu lần gieo xúc xắc để Andy đi từ S đến F? Giải thích chi tiết và vẽ sơ đồ đường đi.

Mẫu sơ đồ đường đi (dòng chữ “The route map is” nghĩa là “Sơ đồ đường đi là”):