AMC 10B năm 2006

$(-1)^1 + (-1)^2 + \cdots + (-1)^{2006}?$ là gì

Đối với số thực $x$ và $y,$ xác định $x \spadesuit y = (x+y)(x-y).$ $3 \spadesuit (4 \spadesuit 5)?$ là gì

Một trận bóng đá đã được diễn ra giữa hai đội, Cougars và Panthers. Hai đội đã ghi được tổng cộng $34$ điểm và Đội báo sư tử đã giành chiến thắng với cách biệt $14$ điểm. Panthers đã ghi được bao nhiêu điểm?

Các vòng tròn có đường kính $1$ inch và $3$ inch có cùng tâm. Vòng tròn nhỏ hơn được sơn màu đỏ, phần bên ngoài vòng tròn nhỏ hơn và bên trong vòng tròn lớn hơn được sơn màu xanh lam. Tỷ lệ giữa diện tích được sơn màu xanh và diện tích được sơn màu đỏ là bao nhiêu?

Một hình chữ nhật $2 \times 3$ và một hình chữ nhật $3 \times 4$ nằm trong một hình vuông mà không chồng lên nhau tại bất kỳ điểm nào bên trong và các cạnh của hình vuông song song với các cạnh của hai hình chữ nhật đã cho. diện tích nhỏ nhất có thể có của hình vuông là bao nhiêu?

Một vùng được giới hạn bởi các cung hình bán nguyệt được dựng trên các cạnh của hình vuông có cạnh đo $\tfrac{2}{\pi},$ như được hiển thị. chu vi của khu vực này là gì?

Điều nào sau đây tương đương với

$$
\sqrt{\dfrac{x}{1-\dfrac{x-1}{x}}}
$$

khi $x \lt 0?$

Một hình vuông diện tích $40$ được nội tiếp trong hình bán nguyệt như hình vẽ. diện tích của hình bán nguyệt là gì?

Francesca sử dụng $100$ gam nước chanh, $100$ gam đường và $400$ gam nước để làm nước chanh. Có $25$ calo trong $100$ gam nước chanh và $386$ calo trong $100$ gam đường. Nước không chứa calo. Có bao nhiêu calo trong $200$ gam nước chanh của cô ấy?

Trong một tam giác có độ dài các cạnh nguyên, một cạnh dài gấp ba lần cạnh thứ hai và độ dài cạnh thứ ba là $15.$ Độ dài lớn nhất có thể có chu vi của tam giác là bao nhiêu?

chữ số hàng chục trong tổng $7! + 8! + 9! + \cdots + 2006!\,?$ là bao nhiêu

Các đường $x=\tfrac14 y+a$ và $y=\tfrac14 x+b$ cắt nhau tại điểm $(1,2).$ $a+b?$

Joe và JoAnn mỗi người mua $12$ ounce cà phê trong cốc $16$-ounce. Joe uống $2$ ounce cà phê và sau đó thêm $2$ ounce kem. JoAnn đã thêm $2$ ounce kem, khuấy đều cà phê rồi uống $2$ ounce. Tỉ lệ giữa lượng kem trong cà phê của Joe và lượng kem trong cà phê của JoAnn là bao nhiêu?

Đặt $a$ và $b$ là nghiệm của phương trình $x^2-mx+2=0.$ Giả sử rằng $a+\tfrac1b$ và $b+\tfrac1a$ là nghiệm của phương trình $x^2-px+q=0.$ $q?$ là gì

Hình thoi $ABCD$ là đồng dạng thành hình thoi $BFDE.$ diện tích của hình thoi $ABCD$ là $24,$ và $\angle BAD=60^\circ.$ diện tích của hình thoi là gì $BFDE?$

Ngày nhuận tháng 2 $29,$ $2004,$ xảy ra vào Chủ nhật. Ngày nhuận tháng 2 $29,$ $2020,$ sẽ diễn ra vào ngày nào trong tuần?

Bob và Alice mỗi người có một chiếc túi chứa một quả bóng có màu xanh lam, xanh lá cây, cam, đỏ và tím. Alice chọn ngẫu nhiên một quả bóng từ túi của mình và bỏ nó vào túi của Bob. Sau đó, Bob chọn ngẫu nhiên một quả bóng từ túi của mình và bỏ nó vào túi của Alice. xác suất sau quá trình này, nội dung của hai túi giống nhau là gì?

Đặt $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ là một chuỗi trong đó $a_1=2,$ $a_2=3,$ và $a_n=\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}$ cho mỗi số nguyên dương $n\ge 3.$ $a_{2006}?$ là gì

Đường tròn bán kính $2$ có tâm tại $O.$ Hình vuông $OABC$ có độ dài cạnh $1.$ Các cạnh $\overline{AB}$ và $\overline{CB}$ được kéo dài qua $B$ để cắt đường tròn tại $D$ và $E,$ tương ứng. diện tích của vùng được tô bóng trong hình là gì, được giới hạn bởi $\overline{BD},$ $\overline{BE},$ và cung nhỏ nối $D$ và $E?$

Trong hình chữ nhật $ABCD,$ chúng ta có $A=(6,-22),$ $B=(2006,178),$ và $D=(8,y)$ cho một số nguyên $y.$ diện tích của hình chữ nhật $ABCD?$