TIMO 2018 - THPT (Lớp 10–12) - Chung kết (Heat Round) - Đề 4

Các chữ số khác 0 là $A,B,C$ thỏa mãn: $BAC$ chia hết cho 3, $BCA$ chia hết cho 5, $ABC$ có số lượng ước dương lẻ. Tìm $CBA$.

Trung bình cộng, trung vị, khoảng biến thiên và mốt duy nhất của 200 số nguyên đều bằng 200. Gọi $A$ là số lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $A$.

30000 trẻ mang số 1–30000 ngồi theo thứ tự thành vòng tròn. Mỗi trẻ giữ một số nguyên; trẻ số 1 giữ số 2. Tổng các số của bất kỳ 2017 trẻ liên tiếp bằng 4034. Trẻ số 24601 giữ số nào?

Cuộc thi có 25 câu. Mỗi câu đúng được 2 điểm, sai bị trừ 1, bỏ trống được 0. Cần ít nhất bao nhiêu thí sinh để chắc chắn có hai người cùng điểm?

Điền các số 1–5 vào bảng sao cho mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường trong hai đường chéo đều có năm số khác nhau. Tìm số ở ô $X$.

$\alpha,\beta$ khác 0 là nghiệm của $x^2-2017x+1=0$. Nếu $1/\alpha^2$ và $1/\beta^2$ là nghiệm của $x^2-Sx+1=0$, tìm $S$.

Tìm hệ số tự do của $\left(2x-\frac1x\right)^3\left(x+\frac1x\right)^4$.

Với $x$ thực, giải $5^x+5^{x+1}=2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}$.

Tìm số nguyên lớn nhất $a$ sao cho $ax^2+(a+1)x+(a+2)=0$ có nghiệm thực.

Với $0\le x\le2$, tìm giá trị lớn nhất của $y=4x^4+12x^3(2-x)+12x^2(2-x)^2+4x(2-x)^3$.

Số có sáu chữ số $20A17B$ chia hết cho 56. Tìm $A+B$.

Với $x$ thực, tìm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{x(x+2)(x+4)(x+6)+160}$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ sao cho $\sqrt{2017-x}$ là số nguyên?

Lập các số có bốn chữ số bằng cách dùng mỗi chữ số 1, 2, 3, 4 đúng một lần. Tìm tổng tất cả các số đó.

Tìm số nguyên lớn nhất $n$ thỏa mãn $n^{2000}\le7^{3000}$.

Tìm diện tích giới hạn bởi trục $Ox$ và hai đường thẳng $2x-y=0$, $2x+3y-8=0$.

Một lục giác đều và một đa giác đều 12 cạnh cùng nội tiếp một đường tròn. Đa giác 12 cạnh có diện tích $12\,\mathrm{cm}^2$. Tìm diện tích lục giác, bằng $\mathrm{cm}^2$, dưới dạng căn thức.

Gọi $O$ là gốc tọa độ; $A_1,A_2,\ldots$ là các điểm phân biệt trên $y=\sqrt{x}$; $B_1,B_2,\ldots$ nằm trên nửa trục $Ox$ dương. Các tam giác $OB_1A_1$, $B_1B_2A_2$, $B_2B_3A_3$, v.v. đều, có cạnh lần lượt $l_1,l_2,l_3,\ldots$. Tìm $l_1+l_2+\cdots+l_{300}$.

Các góc nhọn $x,y$ thỏa mãn $\sin y=3\cos(x+y)\sin x$. Tìm giá trị lớn nhất của $\tan y$.

Tìm khoảng cách ngắn nhất từ $(-2,26)$ đến $5x-12y+10=0$.